/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 7624552

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wódz indiański wysłał trzech zwiadowców na zachód, północ i wschód. Każdy z nich oddalił się o 5 km od obozu i miał w zasięgu wzroku teren o promieniu 5 km.

  • Jaki obszar kontrolują zwiadowcy?
  • O ile zmniejszy się kontrolowany teren, jeśli jeden ze zwiadowców zostanie pojmany przez wrogie plemię? (Rozpatrz dwa przypadki)

Rozwiązanie

Najważniejszy jest oczywiście rysunek.

PIC

  • Pole kontrolowanego obszaru, to suma pól trzech kół pomniejszona o dwa pola S ’łezki’ opartej na cięciwie AB . Pole odcinka kołowego opartego na cięciwie AB (czyli połowy ’łezki’) jest polem ćwiartki koła pomniejszonej o pole trójkąta AOB , czyli
    1S = 125π − 12 5 2 4 2 25- S = 2 (π − 2).

    Kotrolowany obszar to zatem

    3 ⋅25π − 2S = 3 ⋅25π − 25π + 50 = 50(π + 1).

     
    Odpowiedź: 50(π + 1)

  • Jeżeli zostanie pojmany zwiadowca północny, to pozostałe pole, to pole dwóch kół, czyli 50π zatem pole zmniejszy się o 50. W drugim przypadku, gdy zostanie pojmany zwiadowca wschodni lub zachodni, to pole zmniejszy się o
    2 5π − S = 25(π + 2). 2

     
    Odpowiedź: 50 lub 25 2 (π + 2)

Wersja PDF