/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 9169709

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm wpisano kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu.

Rozwiązanie

Oznaczmy bok wpisanego kwadratu przez a .

Sposób I

Naszkicujmy opisaną sytuację i dorysujmy wysokość CG trójkąta ABC .

PIC

Jeżeli przez h oznaczymy wysokość trójkąta równobocznego ABC , to z podobieństwa trójkątów DEC i ABC mamy

DE CH ----= ---- AB CG a- h−--a- 6 = h ah = 6(h − a ) --6h-- a(h + 6) = 6h ⇒ a = h + 6 .

Pozostało skorzystać ze znanego wzoru √ - √ -- h = 6--3= 3 3 2 .

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- a = -1√8--3---= √-6--3--= -√-6--3(2−----3√)---= 12 3 − 18. 3 3+ 6 3 + 2 ( 3 + 2)(2 − 3)

Zatem pole kwadratu jest równe

√ -- 2 2 √ -- 2 √ -- √ -- (12 3− 18) = 6 (2 3 − 3) = 3 6(12− 12 3 + 9) = 1 08(7− 4 3).

Sposób II

Tym razem również zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość odcinka AG przez x .

PIC

Mamy zatem

6 − a 2x + a = AB = 6 ⇒ x = -----. 2

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny AGD .

GD ∘ √ -- AG--= tg60 = 3 a √ -- --= 3 x √ -- -a--= 3 6−2a- √ -- √ 2a-= √3(6 − a) a (2+ 3) = 6 3 √ -- √ -- √ -- -6---3-- --6--3(2-−---3-)--- √ -- a = 2 + √ 3-= (2+ √ 3)(2− √ 3) = 1 2 3− 18.

Pole liczymy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Sposób III

Używamy oznaczeń wprowadzonych w sposobie II. Ponieważ ∡A = 60∘ , mamy

x ∘ 1 AD--= cos6 0 = 2- AD = 2x .

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa do trójkąta AGD

2 2 2 a + x = (2x ) 3x 2 = a2 √ -- x = --3a. 3

Z drugiej strony 2x + a = AB = 6 , zatem

√ -- --3- 2⋅ 3 a + a = 6 ( √ -- ) a 2---3+ 1 = 6 3 √ -- a(2 3 + 3) = 18 18 a = -√------- 2 3 + 3 √ -- 18 (2 3− 3) a = --√----------√------- (2 3√+-3 )(2 3− 3) 18 (2 3− 3) √ -- a = ------------- = 6(2 3− 3 ). 3

Pole obliczamy tak jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź: √ -- 2 10 8(7− 4 3) cm

Wersja PDF