/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 9481079

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek sin α = 2 cos γsin β to trójkąt ten jest równoramienny.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

PIC

Sposób I

Na mocy twierdzeń sinusów i cosinusów mamy

a a ----- = 2R ⇒ sin α = --- sinα 2R --b-- = 2R ⇒ sin β = b-- sinβ 2R 2 2 2 c2 = a2 + b2 − 2abco sγ ⇒ 2cos γ = a-+-b--−-c--. ab

Podany warunek możemy więc zapisać w postaci

2 2 2 -a- = a--+-b--−-c- ⋅-b- 2R ab 2R a2 = a2 + b2 − c2 ⇒ b2 = c2 ⇒ b = c.

Sposób II

Tym razem przekształcimy daną równość korzystając z tego, że α+ β + γ = 180∘ oraz ze wzorów na sinus sumy/różnicy.

sin α = 2c osγ sinβ sin(180 ∘ − (β + γ)) = 2 cosγ sinβ sin(β + γ ) = 2co sγ sin β sin βco sγ + sinγ co sβ = 2 cos γsin β 0 = sinβ cos γ − sinγ co sβ 0 = sin(β − γ ).

Ponieważ β − γ ∈ (− π,π ) mamy stąd β = γ .

Wersja PDF