Zadanie nr 9574876

Na bokach BC ,AC i trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D,E i . Wykaż, że jeżeli okręgi opisane na trójkątach AF E i BDF są styczne, to punkt leży na okręgu opisanym na trójkącie CED .

Rozwiązanie

Jednym z najtrudniejszych elementów tego zadania to wykonanie prawidłowego rysunku – najlepiej jest najpierw narysować okręgi styczne, a potem dorysować do niech trójkąt ABC .

Musimy udowodnić, że na czworokącie CEF D można opisać okrąg.

Sposób I

Wystarczy wykazać, że

∘ ∡CEF + ∡CDF = 180 ,

a ten warunek jest równoważny warunkowi

∘ ∡AEF + ∡BDF = 180 .

Oznaczmy ∡AEF = α i ∡BDF = β . Patrzymy najpierw na trójkąt równoramienny F LB . Mamy w nim

∡F LB = 2β 1 ∘ ∘ ∡BF L = -(180 − ∡F LB) = 90 − β. 2

Podobnie obliczamy kąty trójkąta równoramiennego AKF . Kąt wklęsły przy wierzchołku tego trójkąta jest równy (bo jest oparty na tym samym łuku, co kąt AEF ), więc kąt wypukły przy wierzchołku jest równy ∡AKF = 360∘ − 2α . Mamy stąd

∡KFA = 1(180∘ − ∡AKF ) = α − 90∘. 2

Teraz wystarczy zauważyć, że ∡KFA = ∡BF L , więc

90∘ − β = α− 90∘

Zatem rzeczywiście α+ β = 180 ∘ .

Sposób II

Tym razem oznaczmy ∡A = α i ∡B = β oraz dorysujmy wspólną styczną do danych okręgów. Niech jeszcze będzie jakimkolwiek punktem tej stycznej, który leży wewnątrz czworokąta CEF D . Na mocy twierdzenia o stycznej mamy