/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 9817352

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie równoramiennym (patrz rysunek) długość podstawy wynosi a , zaś wysokości opuszczone odpowiednio na podstawę i ramię są równe H i h . Kąt między ramieniem trójkąta i wysokością opuszczoną na podstawę ma miarę α .

PIC

  • Wyraź tg α w zależności od wielkości a i H .
  • Wyraź co sα w zależności od wielkości a i h .
  • Wykaż, że jeśli 2 a = H ⋅h , to √ -- sin α = 2− 1 .

Rozwiązanie

  • W zasadzie nie ma co objaśniać, wystarczy pamiętać co to jest tg :
    a -2 -a-- tg α = H = 2H .

     
    Odpowiedź: a 2H-

  • Ponieważ wysokości są prostopadłe do boków, to ∡B = 90 ∘ − α (rysunek).
    PIC

    Stąd ∡DAB = α . Wyliczamy teraz z trójkąta DAB :

    co sα = h. a

     
    Odpowiedź: cos α = h a

  • Na początek nie przejmujmy się podanym warunkiem (bo nie bardzo wiadomo co z nim zrobić) i spróbujmy wyliczyć sin α . Jeżeli oznaczymy DB = x (rysunek), to
    x sin α = -. a

    Musimy zatem wyliczyć x – możemy to zrobić z podobieństwa dwóch zaznaczonych trójkątów prostokątnych (tych z kątem α ). Mamy

    x a --= -2 h H a- h- a- h-- h2- x = 2 ⋅ H = 2 ⋅ a2= 2a . h

    Skorzystaliśmy oczywiście z równości a2 = H ⋅h . Teraz jest najbardziej ’trickowy’ krok. Z otrzymanego równania nie uda nam się wprost wyliczyć x (podane warunki wyznaczają trójkąt tylko z dokładnością do podobieństwa), ale my nie mamy wyliczyć x -a tylko x sin α = a . Mając to na uwadze przekształcamy:

    h 2 x = --- 2a x- 1- h2- a = 2 ⋅a2 1 sinα = -(co sα)2 2 1- 2 sinα = 2(1 − sin α) sin2α + 2 sinα − 1 = 0.

    No i teraz powinno być już łatwo, po podstawieniu t = sinα mamy zwykłe równanie kwadratowe.

    2 t + 2t− 1 = 0 Δ = 4 + 4 = 8 √ -- √ -- t1 = − 1 − 2, ,t2 = − 1+ 2

    Pierwsza z tych liczb jest mniejsza od -1, nie może więc być wartością sin α . Wykazalismy zatem, że √ -- sinα = 2− 1 .

Wersja PDF