/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 1170579

Przez środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC poprowadzono prostą równoległą do boku , która przecina boki i odpowiednio w punktach i .
Wykaż, że |ED | = |EA |+ |DB | .

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy odcinki i .

Ponieważ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC , odcinki i są zawarte w dwusiecznych kątów i . Zatem ∡SAB = ∡SAE oraz ∡SBA = ∡SBD . Ponadto, z równoległości odcinków i mamy

∡ESA = ∡SAB = ∡SAE ∡DSB = ∡SBA = ∡SBD .

To oznacza, że trójkąty ASE i BDS są równoramienne, czyli

EA = ES DB = DS .

Stąd

ED = ES + DS = EA + DB .

Sposób II

Tym razem niech i będą punktami styczności okręgu wpisanego z bokami i , oraz niech i będą rzutami punktów i na bok .

Zauważmy, że trójkąty prostokątne AME i EKS mają taki sam kąt ∡MAE = ∡SEK . Ponadto naprzeciw tego kąta w obu trójkątach są odcinki tej samej długości SK = EM = r , gdzie – promień okręgu wpisanego. W takim razie trójkąty te są przystające i SE = EA . Analogicznie uzasadniamy, że trójkąty BND i DLS są przystające, więc SD = DB . W takim razie