Zadanie nr 3559487

W trójkąt ABC , w którym |∡BAC | = α oraz |∡ABC | = β , wpisano okrąg. Punkty K ,L,M są punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami AB , BC i . Wykaż, że |∡MKL | = α+β- 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli połączymy środek okręgu wpisanego z punktami styczności, otrzymamy odcinki OK ,OL i , które są prostopadłe do odpowiednich boków trójkąta.

Zauważmy ponadto, że kąty MKL i MOL są opisane na tym samym łuku okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Zatem

1 ∡MKL = -∡MOL . 2

Patrzymy teraz na czworokąt MOLC .

1 1 ∘ ∘ ∘ ∡MKL = -∡MOL = -(36 0 − ∡C − 90 − 90 ) = 2 2 = 1(180 ∘ − ∡C ) = 1-(α+ β). 2 2

Sposób II

Tak jak poprzednio zauważamy, że

∡MKL = 1∡MOL . 2

Ponieważ suma kątów czworokąta jest równa 3 60∘ , patrząc na czworokąty AKOM i KBLO mamy

∡MOK = 360∘ − 90 ∘ − 9 0∘ − α = 180∘ − α ∡LOK = 360 ∘ − 9 0∘ − 9 0∘ − β = 180 ∘ − β .

Ponadto

∘ ∘ ∘ ∘ ∡MOL = 36 0 − ∡MOK − ∡LOK = 360 − (180 − α)− (180 − β) = α + β.

Zatem

1- α-+-β- ∡MKL = 2∡MOL = 2 .

Sposób III

Zauważmy, że w czworokątach AKOM i KBLO sumy dwóch przeciwległych kątów są równe 180∘ , co oznacza, że na każdym z tych czworokątów można opisać okrąg. W takim razie kąty MKO oraz MAO są kątami wpisanymi w pewien okrąg i są oparte na tym samym łuku . Zatem

∡MKO = ∡MAO .

Podobnie

∡LKO = ∡LBO .

Teraz pozostało zauważyć, że proste i są dwusiecznymi odpowiednio kątów i trójkąta (bo środek okręgu wpisanego to punkt przecięcia się dwusiecznych). Zatem