Zadanie nr 5352225

W trójkącie równoramiennym ABC , w którym |AC | = |BC | wysokość jest dwa razy dłuższa od wysokości (patrz rysunek). Oblicz kosinusy wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta ABC .

Rozwiązanie

Ogólnie, to to co chcemy zrobić, to zamienić podaną informację o stosunku wysokości na informację o stosunku boków trójkąta – bo to, mniej więcej, daje funkcje trygonometryczne jego kątów. Najważniejsze to znaleźć jakąś równość w danym trójkącie, w której występują jednocześnie obie wysokości. Możliwości jest wiele, ale dwie najprostsze to

dwa wzory na pole: ,
podobieństwo trójkątów i : .

Każda z tych równości prowadzi do wniosku

AB--= 1. CB 2

I to w zasadzie prawie koniec, zostało jeszcze sporo rachunków, ale są one dość oczywiste – jest już jasne, że kształt (a więc kąty) trójkąta ABC jest przez ten warunek jednoznacznie wyznaczony (z warunku z wysokościami nie było to całkiem jasne).

No to liczymy. Najpierw co s∡B = co s∡A :

EB 1 AB 1 co s∡B = ----= --⋅ ----= -. CB 2 CB 4

Na wyliczenie co s∡C znowu jest wiele różnych sposobów, ale najmniej trickowy to wyliczenie ∘ co s∡ECB = co s(90 − ∡B ) , a potem ze wzoru cos2α = 2co s2α − 1 . Liczymy: