/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt

Zadanie nr 8236307

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Okrąg o1 przechodzi przez wierzchołek B trójkąta ABC i przecina jego boki AB i BC odpowiednio w punktach F i D . Okrąg o2 przechodzi przez wierzchołek C , przecina okrąg o1 w punkcie D oraz w punkcie G leżącym wewnątrz trójkąta ABC . Ponadto okrąg o 2 przecina bok AC trójkąta w punkcie E .

PIC

Udowodnij, że punkt G leży na okręgu opisanym na trójkącie AF E .

Rozwiązanie

Połączmy punkt G z punktami D ,E,F oraz oznaczmy miary kątów trójkąta tak jak na rysunku.

PIC

Musimy udowodnić, że na czworokącie AF GE można opisać okrąg. Aby to zrobić wystarczy wykazać, że suma dwóch przeciwległych kątów czworokąta jest równa 1 80∘ .

Czworokąty BDGF i CEGD są wpisane w okrąg, więc

∡F GD = 18 0∘ − β ∘ ∡DGE = 18 0 − γ.

Mamy stąd

∡F GE = 360 ∘ − ∡F GD − ∡DGE = β + γ .

Zatem

∡FAE + ∡F GE = α + β + γ = 180 ∘,

czyli rzeczywiście punkty A ,F,G ,E leżą na jednym okręgu.

Wersja PDF