/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Kąty w trójkącie

Zadanie nr 1195313

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie równoramiennym ABC (AC = BC ) poprowadzono wysokości CK i AM . Wiedząc że AB 2 = CK ⋅AM wyznacz cosinus kąta przy podstawie trójkąta.

Rozwiązanie

Tradycyjnie zaczynamy od rysunku.

PIC

Sposób I

Przekształcimy podaną równość tak, aby były w niej tylko funkcje trygonometryczne kąta α .

AB 2 = CK ⋅AM AB AM ----= ----- CK AB 2⋅ AK--= AM--- CK AB 2ctg α = sin α 2cos-α = sin α sin α 2co sα = sin2 α 2 2co sα = 1 − co s α cos2 α+ 2co sα − 1 = 0 .

Po podstawieniu t = co sα dostajemy zwykłe równanie kwadratowe, które ma dwa rozwiązania √ -- t1 = − 1 − 2 i √ -- t2 = − 1 + 2 . Ponieważ t1 < − 1 , pierwsze z tych rozwiązań odrzucamy.

Sposób II

Musimy jakoś związać ze sobą dwie wysokości AC i BC , żeby wykorzystać podany warunek. Możliwości jest kilka, np.

  • z podobieństwa trójkątów AKC i AMB mamy CK- AM-- AC = AB ,
  • porównanie dwóch wzorów na pole trójkąta: 1AB ⋅CK = 1CB ⋅AM 2 2 .

Tak czy inaczej, dostajemy

AB AM AB2- AB 2 ----= -----= CK--= ---2- AC CK CK CK

Ponieważ nie widać specjalnie co z tym dalej zrobić, zacznijmy liczyć cos α . Liczymy to z trójkąta prostokątnego AKC .

AK co sα = ---- AC co sα = 1⋅ AB-. 2 AC

Możemy teraz skorzystać z wcześniej wyliczonej równości

2 cos α = 1-⋅ AB--. 2 CK 2

Aby kontynuować te rachunki zauważmy, że

AB AK cosα ----= 2⋅---- = 2 ctgα = 2⋅ -----. CK CK sin α

Mamy zatem

1 ( cosα )2 cos α = 2 ⋅ 2⋅ sinα- c osα 1 = 2 ⋅---2-- sin α sin2 α = 2c osα 2 1− cos α = 2co sα cos2 α+ 2co sα − 1 = 0 .

Równanie to rozwiązujemy tak jak w sposobie I.  
Odpowiedź: √ -- 2 − 1

Wersja PDF