Logarytmy

Deﬁnicje Najważniejsze w całej zabawie z logarytmami to zrozumieć, co to jest logarytm.

Wyrażenie loga b jest równe odpowiedzi na pytanie:
do jakiej potęgi należy podnieść , żeby otrzymać ?

To zdanie należy traktować jako deﬁnicję logarytmów i koniecznie trzeba je zapamiętać – jest to klucz do wszystkich ich własności. Przy pomocy wzorków zapisuje się to w postaci

x logab = x ⇐ ⇒ b = a

Od ręki możemy policzyć kilka prostych przykładów – w każdym z nich spróbujcie samodzielnie zgadnąć odpowiedź – i nie potrzebujemy do tego żadnych wzorów!

3 log 22 = 3 log 381 = 4 log 4 = 1 4 log 31 = 0 1 log 5--= − 1 5√ -- log 2 = 1- 2 2 log 19 = − 2 3 log 0,58 = − 3 log 19 2 2 = 19.

Jeżeli ktoś nie rozumie powyższych równości to ma małe szanse na sprawne posługiwanie się logarytmami, dlatego radzę się poprzyglądać do skutku.

Jeżeli rozumiemy już te wzorki, to powinny być jasne odrobinę ogólniejsze równości:

loga a = 1 log 1 = 0 logab a a = b 1 loga --= − logab b log 1a b = − lo gab.

Tego typu wzory bywają bardzo użyteczne, ale jeżeli pamiętamy (i rozumiemy) deﬁnicję logarytmu, to nie trzeba ich się uczyć na pamięć, są one wtedy dość oczywiste.

Dla przykładu popatrzmy na trzeci wzorek: lo gab to jest taka liczba, że jak podniesiemy do niej to wyjdzie . I co robimy? – podnosimy do niej , więc wychodzi .

Dla treningu przeczytajmy jeszcze czwarty wzorek. Wiemy, że jak podniesiemy do potęgi loga b to wyjdzie . Jeżeli więc podniesiemy do potęgi − loga b to wyjdzie b−1 = 1b .

Obliczmy a3b6 jeżeli lo g a = − 1 2 i lo g b = 1 3 3 .
Z deﬁnicji logarytmu wiemy, że 2−1 = a i 1 33 = b . Zatem

3 6 ( − 1) 3 ( 13) 6 32- 9- a b = 2 ⋅ 3 = 23 = 8.

Wzorki W przypadku bardziej skomplikowanych wyrażeń, np. log 3 2 nie jesteśmy w stanie obliczyć tej liczby dokładnie – jest to po prostu potęga do jakiej trzeba podnieść 2, żeby wyszło 3. Jest to pewna liczba niewymierna, mniej więcej równa 1,58496... (powinno być jasne, że musi być między 1 a 2, bo 21 = 2 i 2 2 = 4 ). Symbol log 23 należy traktować jako oznacznie tej liczby. Pomimo, że nie znamy jej dokładnej wartości, możemy jednak o niej coś powiedzieć, np. bezpośrednio z deﬁnicji wiemy, że log 3 2 2 = 3 . Są też ciekawsze własności.

Sprawdźmy że lo g26 = 1 + log 23 .
Myślimy o tym następująco: do jakiej potęgi trzeba podnieść 2, żeby wyszło 6? Ponieważ 6 = 2 ⋅3 , musimy podnieść 2 do potęgi 1 (dwójka w rozkładzie) i jeszcze do log 3 2 (trójka w rozkładzie).

Sytuacja jest podobna jak z pierwiastkami: mało kto potraﬁ podać nawet przybliżoną wartość √ ---- 213 , ale jest jasne, że √ ---- ( 21 3)2 = 213 czy √ ---- √ ---- 2 213 = 852 .

Pomimo, że takie kombinowanie nie jest bardzo trudne, można to zrobić szybciej korzystając z następujących wzorów:

log (bc) = log b + log c a a a 1- loga b = − loga b b loga --= lo gab − loga c cn loga b = n loga b log b loga b = ---c-- logc a --1--- loga b = log a. b

Nie będziemy tych wzorków uzasadniać, zamiast tego krótko je omówimy. Pierwszy wzór, który jest natychmiastową konsekwencją wzoru xm +n = xmxn , jest zdecydowanie najważniejszą własnością logarytmów. Można go czytać tak: suma logarytmów to logarytm iloczynu. Wzór ten pojawia się w większości zadań z logarytmami – zapamiętać należy, że logarytmy dobrze zachowują się przy dodawaniu.

log6 2+ log 63 = log 66 = 1.

Drugi wzór to prosta konsekwencja deﬁnicji (można też go traktować jako przypadek szczególny 4 wzoru).

1- log 160,25 = − lo g164 = − 2.

Trzeci wynika natychmiast z pierwszych dwóch i z grubsza mówi, że logarytmy dobrze się zachowują przy odejmowaniu.

63 log 63-− log 9-= log -5-= log 7 = 1 . 7 5 7 5 7 95 7

Czwarty wzór, wynikający z równości (xm )n = xmn , bywa bardzo użyteczny w rachunkach, bo pozwala wyciągać potęgi przed logarytm.

5 log7-32 log-72-- 5log-72- 5- lo g 8 = log 23 = 3log 2 = 3 7 7 7 log 3⋅ log 2 = log 2log23 = lo g 3 = 1- 2 9 9 9 2

Przedostatni wzór to tzw. wzór na zmianę podstawy logarytmu. Jak nazwa wskazuje pozwala dowolnie zmieniać podstawę logarytmu.

log32-7 3- lo g927 = log 9 = 2 . 3

Jeszcze jeden przykład na ostatni wzór.

1 1 ------+ ------ = log6 2+ lo g63 = log 66 = 1. log2 6 log3 6

Logarytm dziesiętny i naturalny Jak zrobić tablice logarytmów? – w zasadzie się nie da, bo lo gab ma dwa argumenty i takie tablice byłyby ogromne. Z drugiej strony, mamy wzór na zmianę podstawy logarytmu i wystarczy znać logarytmy przy jednej ustalonej podstawie. Dlatego wyróżnia się dwie podstawy: 10 i e = 2,7 18... . Logarytm przy podstawie 10 nazywa się dzięsiętnym i oznacza logb = lo g10b , a przy podstawie naturalnym i oznacza ln b = lo geb .

O ile nie trzeba specjalnie tłumaczyć dlaczego logarytm przy podstawie 10 jest wyróżniony, to aby dobrze zrozumieć fenomen logarytmu naturalnego trzeba umieć liczyć pochodne funkcji wykładniczych – ponieważ takie pochodne zniknęły ze szkoły, logarytm naturalny też jest w niej marginalizowany. Warto jednak wiedzieć, że taki jest.

Tips & Tricks

1Pamiętajmy, że wzory na sumę i różnicę logarytmów wymagają, aby logarytmy miały tę samą podstawę. Jeżeli nie mają, to możemy spróbować ją zmienić ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu.

log 5 log 5+ lo g 5 = lo g 5 + ---2-- = log 5+ 1-lo g 5 = 2 4 2 log2 4 2 2 2 12 √ -- = log2 5+ log 25 = lo g25 5.

2Czasem może spotkać się z potrzebą uproszczenia wyrażenia, w którym mamy iloczyny logarytmów, np.

log2 4+ log 3⋅ log 48. 12 12 12

Ponieważ nie ma wzoru na iloczyn logarytmów w takiej sytuacji staramy się wyłączyć wspólny czynnik przed nawias i skorzystać ze wzoru na sumę logarytmów.

log 212 4+ lo g123 ⋅lo g1248 = lo g2124 + log123 ⋅log12(4 ⋅12) = 2 = lo g124 + log123 ⋅(log124 + log 12 12) = = lo g2 4 + log 3 log 4 + log 3 = 12 12 12 12 = lo g124 (log 124+ log123) + log12 3 = = lo g 4 log 12 + log 3 = 12 12 12 = lo g124 + log123 = lo g1212 = 1 .

3Wprawdzie wzór na logarytm iloczynu zwykle podaje się tylko dla dwóch liczb, ale jest on prawdziwy dla dowolnej liczby czynników.

loga(x1x 2⋅⋅⋅xn ) = lo gax1 + loga x2 + ⋅⋅⋅+ loga xn.

Obliczmy sumę

1 2 3 99 10 0 log 10-0 + lo g9-9 + lo g 98-+ ...+ log -2-+ log -1--.

Ze wzoru na logarytm iloczynu, suma ta jest równa:

( ) 1 2 3 98 99 10 0 log ----⋅ ---⋅---⋅...⋅ --⋅ ---⋅---- = lo g1 = 0. 100 99 98 3 2 1

4Duża liczba wzorków z logarytmami sprawia, że mamy podobną sytuację jak z funkcjami trygonometrycznymi: ta sama liczba może być zapisana na wiele różnych sposobów.

W poprzednim podpunkcie sprawdziliśmy, że

√ -- lo g25 + log4 5 = log25 5,

ale mogliśmy też liczyć tak

--1--- --1--- --1--- ---1---- ---3---- log2 5+ lo g45 = lo g 2 + lo g 4 = log 2 + 2log 2 = 2log 2. 5 5 5 5 5

5Większość szkolnych kalkulatorów/tablic pozwala znaleźć tylko wartości logarytmów dziesiętnych. Jak w takim razie wyliczyć inny logarytm? – korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu

lo gb lo gab = -----. lo ga

log 3 = log-3-≈ 0,48-≈ 1,6. 2 log 2 0 ,3

Tu zaczynamy dotykać delikatnego problemu szacowania błędu obliczeń: jeżeli dzielimy dwie liczby, które znamy z dokładnością do 0,01 to trudno jest przewidzieć z jaką dokładnością znamy wynik (zależy to od wartości liczby, przez którą dzielimy). Aby to zrozumieć, wystarczy wziąć przybliżenie π ≈ 3,14 i podzielić przez 10. Wtedy wynik znamy z dokładnością do 0,001. Ale jak podzielimy przez 110 (czyli pomnożymy przez 10), to wynik znamy tylko z dokładnością do 0,1. W naszym przykładzie dzieliliśmy przez 0,3, więc wyniku na pewno nie znamy z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

6Jest sporo zadań typu ’uprość wyrażenie’, w których występują logarytmy o różnych podstawach – zwykle pierwszą rzeczą do zrobienia jest sprowadzenie wszystkich logarytmów do wspólnej podstawy – im mniejszej tym lepiej. Np. jeżeli w zadaniu są logarytmy o podstawie 2,3,6,9 to za wspólną podstawę najlepiej wziąć 2 lub 3. Jeżeli nie widać jaką wziąć wspólną podstawę, to zawsze możemy pozamieniać wszystko na logarytmy dziesiętne lub naturalne.

Obliczmy wartość wyrażenia log 0,8 27 jeżeli log 3 = a 4 i lo g53 = b .
Liczba która się wyróżnia w podanej treści to 3 (jest w każdym składniku, bo 2 7 = 33 ), więc zamieniamy podstawę wszystkich logarytmów na 3.

a = log 3 = ---1-- ⇒ lo g 4 = 1- 4 log 34 3 a 1 1 b = log 53 = ------ ⇒ lo g35 = -- log 35 b 4 log 4 log 4− lo g 5 1 − 1 b − a log 27 --= ---3-5-= ---3--------3--= a---b-= -----. 5 lo g327 3 3 3ab

Sprawdźmy, kiedy liczby log 0,645,logx 45 i lo g0,83 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.
Interesujący nas warunek będzie spełniony jeżeli środkowa liczba będzie średnią arytmetyczną pozostałych dwóch. Liczmy (zamieniamy wszystkie logarytmy na dziesiętne).

2 logx4 5 = log0,64 5+ log 0,83 2log 45 log 5 lo g3 lo g5 lo g3 --------= ------2-+ -------= ---------+ ------- lo gx log 0,8 log 0,8 2 log 0,8 log 0,8 2log-45- log-5-+-2-log-3- log(5-⋅9)- lo gx = 2 lo g0,8 = 2 log 0,8 2log-45-= -lo-g45--- lo gx 2log 0,8 4 lo gx = 4log 0,8 = log(0 ,8 ) ⇒ x = 0,40 96.

7Jedno z popularnych zastosowań logarytmów, to ’zdejmowanie na dół wykładników’, czyli logarytmowanie stronami.

Rozwiążmy równanie 2x = 8 1 .
Logarytmujemy równanie stronami logarytmem przy podstawie 2.

log 2x = lo g 34 2 2 x = 4log 23.

Uzasadnijmy, że liczby 7log115 i 5log117 są równe.

7log11 5 = 5log117 / log () ( ) 11( ) lo g 7 log115 = log 5log117 11 11 lo g115 ⋅lo g117 = log 11 7⋅ log 115.

Otrzymana równość jest oczywiście prawdziwa.

Ile cyfr ma liczba 21000 ?
Pytanie można przeformułować tak: dla jakiej liczby całkowitej , mamy nierówność

10k− 1 ≤ 21000 < 10k

(np. liczby trzycyfrowe to te, które są nie mniejsze od 100 i mniejsze od 1000). Jeżeli zlogarytmujemy tę równość stronami (logarytmem dziesiętnym) to mamy

k− 1 1000 k log 10 ≤ 2 < 10 k − 1 ≤ 10 00log 2 < k.

Pytanie zatem brzmi jak jest część całkowita liczby 1000 log 2 . Ponieważ mnożymy przez 1000 potrzebujemy do tego wartość log 2 z dokładnością do 0,001. Oczywiście to żaden problem dla kalkulatora i mamy

100 0log 2 ≈ 1000 ⋅0,30 1 = 301.

Zatem liczba 1000 2 ma 302 cyfry (bo w nierówności ma być 10 00log 2 < k ).

8Żeby nie zaciemniać obrazka nie przejmowaliśmy się na razie dziedziną logarytmu, ale warto pamiętać, że w wyrażeniu loga b musi być a,b > 0 i a ⁄= 1 . Takie rzeczy zaczynają być bardzo ważne, gdy mamy parametry i nie wiemy dokładnie jaki mają znak.

Rozwiążmy równanie x 1 x = x , gdzie x > 0 . Logarytmujemy stronami logarytmem przy podstawie .

xx = 1- x x 1 logx x = logx -- x x = − 1.

Mieliśmy szukać tylko dodatnich rozwiązań, więc równanie jest sprzeczne.
Na pewno? Logarytmować przy podstawie mogliśmy tylko dla x ⁄= 1 , więc x = 1 musimy sprawdzić osobno. I tak się składa, że to akurat jest rozwiązanie.

Spróbujmy rozwiązać równanie lo g[x(x+ 3)]− log [x (x+ 2)] = lo g2 .
Liczymy

log x-(x+--3) = log 2 x (x+ 2) x + 3 ------= 2 x + 2 x + 3 = 2x + 4 0 = x + 1 ⇒ x = − 1.

Rachunek wygląda niewinnie, ale x = − 1 wcale nie jest rozwiązaniem równania! (Bo argumenty logarytmów wychodzą ujemne.) Z drugiej strony, jest rozwiązaniem równania log x(x+-3)= lo g2 x(x+ 2) . Po prostu lewa i prawa strona równości

lo g[x(x + 3)]− log [x (x+ 2)] = lo g x(x-+-3)- x(x + 2)

mają różne dziedziny.

9Widzieliśmy przed chwilą, że trzeba bardzo ostrożnie używać wzorów z logarytmami, gdyż na ogół zmieniają one dziedzinę przekształcanego wyrażenia. W niektórych sytuacjach wygodne jest połączenie wzorów z logarytmami razem z wartością bezwzględną, co znacznie zwiększa możliwości ich zastosowania.

Dziedzina prawej strony wzoru log (xy ) = log x+ lo gy jest znacznie mniejsza od dziedziny lewej strony. Jeżeli jednak zapiszemy ten wzór w postaci

log |xy | = lo g|x|+ lo g|y|

to dziedziny obu stron są dokładnie takie same.

Podobnie jest z wzorem lo gxn = nlog x . Jeżeli n = 2k jest liczba całkowitą parzystą, to lewa strona ma sens dla dowolnych niezerowych liczb , a prawa tylko dla liczb dodatnich. Jeżeli jednak napiszemy ten wzór w postaci

log x2k = 2k lo g|x|,

to dziedziny obu stron są identyczne. O wzorze tym należy myśleć jak o odpowiedniku wzoru

2k√ ---- x2k = |x|.

Rozwiążmy równanie 4 lo g2(3x + 4) = 4 .
Mamy

4log 2|3x+ 4| = 4 log |3x + 4| = 1 2 |3x+ 4| = 2 3x + 4 = 2 ∨ 3x+ 4 = − 2 x = − 2- ∨ x = − 2. 3

10 Często wykorzystywany motyw w zadaniach szkolnych to fakt, że logarytm zamienia ciąg geometryczny na arytmetyczny.

Jeżeli ciąg (a ) n jest geometryczny, to iloraz an+1 an nie zależy od . Jeżeli tę równość zlogarytmujemy

an+ 1 log ----- = log an+1 − log an, an

to widzimy, że różnica ta nie zależy od , czyli ciąg (lo gan ) jest ciągiem arytmetycznym.

11Niezwykła użyteczność logarytmu wynika z faktu, że zamienia on mnożenie na dodawanie. Jeżeli popatrzymy na wzór log (ab ) = loga + log b to widać, że jeżeli umiemy zamieniać liczby na logarytmy i odwrotnie (np. mamy tablice logarytmów), to zamiast mnożyć liczby i możemy dodać ich logarytmy. I co z tego? Żeby to zrozumieć trzeba się przenieść w czasy przedkalkulatorowe: proponuję spróbować pisemnie wymnożyć 10 liczb 3 cyfrowych, a wtedy będzie jasne dlaczego dodawanie jest o wiele prostsze od mnożenia. Nawet w czasach współczesnych procesorów, mnożenie jest bardzo czasochłonną operacją i zamiana go na dodawanie dramatycznie przyśpiesza obliczenia.

Policzmy 45 ,2 1⋅2 1,43 .
Sprawdzamy w tablicach (na kalkulatorze :)), że

lo g4 5,21 ≈ 1,655 23 lo g2 1,43 ≈ 1,331 02.

Dodajmy te liczby i mamy 2,98625. Teraz szukamy jakiej liczby to jest logarytm (czyli liczymy 102,98625 ). Wychodzi 968,84. Osobny problem to szacowanie jaki popełniamy błąd, ale nie będziemy się tym zajmować.

Tego typu rachunki miały fundamentalne znacznie w czasach rewolucji przemysłowej, a suwak logarytmiczny jeszcze nie tak dawno temu był nieodłącznym atrybutem każdego inżyniera.

12Przed chwilą przekonywałem, że logarytmy pozwalają łatwo mnożyć liczby, ale to nie wszystko. Dzięki wzorowi