Zadanie nr 9634508

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których dziedziną funkcji

2 f(x) = log (mx + 4mx + m + 3)

jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Rozwiązanie

Dziedziną logarytmu jest zbiór liczb dodatnich, zatem pytanie brzmi kiedy wyrażenie mx 2 + 4mx + m + 3 przyjmuje zawsze (dla dowolnego ) wartości dodatnie.

Najpierw sprawdzamy przypadek m = 0 (gdy wyrażenie jest liniowe). Mamy wtedy

2 mx + 4mx + m + 3 = 3

i jest OK.

Jeżeli m ⁄= 0 to mamy funkcję kwadratową. Żeby była zawsze dodatnia, ramiona paraboli będącej jej wykresem muszą być skierowane do góry, czyli m > 0 . Ponadto parabola musi być w całości powyżej osi , czyli Δ < 0 .