/Konkursy/Zadania/Równania

Zadanie nr 1958064

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba √ -- √ -- 3+ 2− 1 .

Rozwiązanie

Pomysł jest następujący: oznaczymy √ -- √ -- x = 3 + 2 − 1 i będziemy podnosić do kwadratu tak, aby pozbyć się pierwiastków.

√ -- √ -- x + 1 = 3+ 2 2 √ -- (x + 1) = 3 + 2 6+√ -2 x2 + 2x + 1 = 5+ 2 6 2 √ -- x + 2x − 4 = 2 6 2 2 (x + 2x − 4 ) = 4⋅6 = 24 x4 + 4x 2 + 16 + 4x 3 − 8x2 − 16x = 2 4 4 3 2 x + 4x − 4x − 16x− 8 = 0.

Dla ciekawskich, liczby dla których da się wykonać tego typu sztuczkę, tzn. liczby, które są pierwiatkami wielomianów o współczynnikach całkowitych nazywają się liczbami algebraicznymi. Oczywiście liczby wymierne są algebraiczne, algebraiczne są też pierwiastki z liczb wymiernych (pierwiastki wielomianu n qx − p ). Okazuje się również, że zbiór liczb algebraicznych jest zamknięty ze względu na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie (o ile nie dzielimy przez 0). W szczególności algebraiczne są wszystkie wyrażenia w których są sumy, różnice, iloczyny i ilorazy pierwiatków z liczb wymiernych. Okazuje się, że są też liczby, które nie są algebraiczne, przykładami takich liczb są π , e (podstawa logarytmu naturalnego) lub √ - 2 2 .  
Odpowiedź: x4 + 4x 3 − 4x 2 − 16x− 8

Wersja PDF