/Konkursy/Zadania/Równania

Zadanie nr 1977889

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że jeżeli liczby rzeczywiste a,b,c spełniają równość a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca to a = b = c .

Rozwiązanie

Przekształcamy daną równość tak, aby otrzymać pełne kwadraty.

2 2 2 a + b + c = ab+ bc+ ca / ⋅2 2a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab− 2bc− 2ac = 0 2 2 2 2 2 2 (a − 2ab+ b )+ (b − 2bc + c ) + (c − 2ac + a ) = 0 (a− b)2 + (b − c)2 + (c− a)2 = 0.

Jeżeli suma kwadratów jest równa 0, to każdy ze składników musi być zerem, czyli a = b i b = c .

Wersja PDF