Najprostsze równania wielomianowe to równania liniowe oraz kwadratowe. Ponieważ jednak omówiliśmy je w osobnych poradnikach, skupimy się teraz wyłącznie na równaniach stopnia co najmniej 3. Proste równania Bardzo wiele równań, które pojawiają się w zadaniach szkolnych, możemy rozwiązać bez korzystania z jakichkolwiek twierdzeń czy algorytmów. Ogólna zasada jest prosta: próbujemy równanie doprowadzić do postaci iloczyn prostych składników równy 0. Przez proste składniki rozumiemy wielomiany, dla których bardzo łatwo jest wyznaczyć pierwiastki, np. wielomiany liniowe 
, albo kwadratowe 
.
Rozwiążmy równanie 
.
Liczymy
Zauważmy, że równanie jest na tyle proste, że nie ma tym przypadku potrzeby rozkładania wielomianu z lewej strony równania.
Rozwiążmy równanie 
.
Jeżeli się dobrze przyjrzymy, to powinniśmy dostrzec, że z lewej strony mamy wzór skróconego mnożenia:
Rozwiążmy równanie 
.
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Grupowanie wyrazów Odrobinę więcej wprawy wymagają zadania, w których należy odpowiednio pogrupować składniki, tak aby móc wyłączyć dwumian postaci 
przed nawias.
Rozwiążmy równanie 
.
Zauważmy, że dwa ostatnie współczynniki: 10 i -6 to wielokrotności pierwszych dwóch współczynników: 5 i -3. Taka sytuacja to typowy znak, że możemy coś wyłączyć przed nawias.
Mamy zatem 
, czyli 
.
Rozwiążmy równanie 
.
Tu już trochę trudniej dostrzec możliwość wyłączenia czynnika liniowego przed nawias, ale schemat jest ten sam, co poprzednio.
Mamy zatem 
lub 
.
Pierwiastki wymierne No dobrze, a co zrobić, gdy nie uda nam się sprytnie rozłożyć wielomianu na czynniki? – stosujemy wtedy twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu.
Jeżeli liczba wymierna 
jest pierwiastkiem równania
o współczynnikach całkowitych, oraz ułamek 
jest nieskracalny, to 
dzieli 
i 
dzieli 
.
Powyższe twierdzenie daje nam przepis w jaki sposób poszukiwać pierwiastków wielomianu o współczynnikach całkowitych: szukamy pierwiastków (wstawiając do wielomianu) wśród liczb wymiernych postaci 
, gdzie 
dzieli 
i 
dzieli 
.
Wymierne pierwiastki równania 
muszą być postaci:
Sprawdzając po kolei te liczby, znajdujemy pierwiastek 
:
Wyznaczmy wymierne pierwiastki równania 
.
Na mocy powyższego twierdzenia musimy brać pod uwagę ułamki 
, gdzie 
dzieli 2, a 
dzieli 6. Dzielniki 2 są cztery: 
, a dzielników 6 jest 8: 
. Łatwo sprawdzić, że otrzymujemy w ten sposób następujące liczby
Można sprawdzić, że pierwiastkami są 
oraz 
.
Gdy uda nam się już znaleźć chociaż jeden pierwiastek równania, korzystamy z tzw. twierdzenia Bézouta
Liczba 
jest miejscem zerowym wielomianu 
wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian 
jest podzielny przez dwumian 
.
Z punktu widzenia rozwiązywania równania, twierdzenie to oznacza, że jeżeli wiemy, że liczba 
jest pierwiastkiem równania 
, to wielomian 
można podzielić przez dwumian 
. Samo dzielenie wielomianów zostało opisane w osobnym poradniku. Gdy wykonamy dzielenie, otrzymamy ponownie równanie wielomianowe, ale jego stopień będzie już o jeden niższy.
Rozwiążmy równanie 
.
Najpierw szukamy pierwiastków wymiernych: nie mamy dużego wyboru musimy tylko sprawdzić 
i 
. Okazuje się, że pierwsza z tych liczb jest pierwiastkiem, więc dzielimy lewą stronę przez 
. Gdy to zrobimy otrzymamy
Pierwszy składnik zeruje się dokładnie dla 
, a ten pierwiastek już znamy, więc wystarczy sprawdzić kiedy zeruje się drugi nawias, co prowadzi do zwykłego równania kwadratowego.
W sumie równanie ma więc trzy rozwiązania.
