Zadanie nr 4251133

Maksymalny przedział, na którym funkcja 3 2 f(x) = mx + mx − 8x − 9 jest malejąca ma długość 2. Oblicz wartość parametru oraz wyznacz największą wartość funkcji na przedziale ⟨− 2,1⟩ .

Rozwiązanie

Jeżeli m = 0 , to funkcja jest funkcją liniową i oczywiście nie może spełniać podanego warunku. Zatem m ⁄= 0 i mamy do czynienia z wielomianem stopnia 3. Pochodna tego wielomianu

f′(x) = 3mx 2 + 2mx − 8

jest funkcją kwadratową, której znak decyduje o monotoniczności funkcji . W takim razie rozwiązaniem nierówności f′(x) ≤ 0 musi być przedział ⟨x1,x 2⟩ długości 2. W szczególności m > 0 i ′ f (x) musi mieć dwa pierwiastki, czyli

2 0 < Δ = 4m + 96m = 4m (m + 24) m ∈ (− ∞ ,− 24) ∪ (0,+ ∞ ).

Ponadto pierwiastki x ,x 1 2 trójmianu f ′(x ) muszą spełniać warunek

2 = |x2 − x1| / ()2 2 2 2 4 = x 2 − 2x 1x2 + x1 = (x1 + x2) − 4x1x2.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

{ x1 + x2 = − 23mm- = − 23 x x = − 8-. 1 2 3m

Mamy zatem równanie

2 4- -32 4 = (x1 + x2) − 4x1x 2 = 9 + 3m 32 32 ---= --- ⇒ m = 3. 9 3m

Zatem ′ 2 f (x) = 9x + 6x − 8 . Wyznaczmy jeszcze miejsca zerowe pochodnej – będzie nam to potrzebne do wyznaczenia największej wartości funkcji.

2 Δ = 36+ 288 = 3 24 = 18 −-6−--18- 4- −-6+--18- 2- x 1 = 18 = − 3, x2 = 18 = 3.

To oznacza, że pochodna jest dodatnia na przedziałach ( ) − ∞ ,− 4 3 , ( ) 2,+ ∞ 3 oraz ujemna na przedziale ( ) − 43, 23 . Zatem funkcja y = f(x ) rośnie na przedziałach ( ⟩ − ∞ ,− 43 , ⟨ ) 23,+ ∞ oraz maleje na przedziale ⟨ ⟩ − 43, 23 . W szczególności, w punkcie 4 x = − 3 funkcja osiąga maksimum lokalne i największa wartość funkcji na przedziale ⟨− 2,1⟩ to albo ( ) f − 4 3 albo f (1) . Obliczamy obie wartości.