Zadanie nr 4364330

Oblicz najmniejszą wartość wielomianu W (x) = (x − 1)(x − 3)(x − 5 )(x − 7) .

Rozwiązanie

Sposób I

Spróbujemy zadanie rozwiązać tradycyjnie, czyli z pochodnych. Mamy

2 2 4 3 2 W (x) = (x − 4x + 3)(x − 12x + 35) = x − 16x + 8 6x − 176x + 105 W ′(x) = 4x3 − 48x2 + 172x − 176 = 4(x 3 − 12x 2 + 43x − 44).

Musimy teraz znaleźć pierwiastki pochodnej. sprawdzamy oczywiście dzielniki wyrazu wolnego. Po jakiejś chwili można zauważyć, że x = 4 jest pierwiastkiem. Dzielimy zatem przez x − 4 . My zrobimy to grupując wyrazy.

x3 − 12x 2 + 43x − 44 = = (x3 − 4x 2)− (8x 2 − 3 2x)+ (11x − 44) = 2 = (x − 4)(x − 8x + 11√)-- Δ = 64 − 44 = 20 = (2 5)2 √ -- √ -- x = 4 − 5 x = 4 + 5.

Ponieważ

√ -- √ -- 4− 5 < 4 < 4 + 5 ,

to minima funkcji są przyjmowane w punktach √ -- 4 ± 5 . Policzmy wartości funkcji w tych punktach.

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- W (4 − 5) = (3− 5)√(1− 5)√(−-1− √5)(− 3− √ -5) = = (3− 5)(3 + 5)(1 − 5)(1 + 5) = (9 − 5)(1 − 5 ) = − 16 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- W (4 + 5) = (3+ 5)(1+ 5)(− 1+ 5)(− 3+ 5) = √ -- √ -- √ -- √ -- = (3+ 5)(3 − 5)(1 + 5)(1 − 5) = (9 − 5)(1 − 5 ) = − 16.

Zatem najmniejsza wartość funkcji to √ -- W (4± 5) = − 16 .

Sposób II

Zadanie można rozwiązać znacznie prościej korzystając z symetrii danej funkcji względem prostej x = 4 . Ta symetria jest widoczna ze wzoru oraz narzuca się w poprzednim rozwiązaniu. Jeżeli podstawimy t = x − 4 to mamy funkcje

2 2 W (t) = (t+ 3)(t+ 1 )(t− 1)(t− 3) = (t − 9)(t − 1 ).

Jest to funkcja dwukwadratowa, więc podstawmy 2 s = t . Mamy wtedy parabolę

W (s) = (s− 9)(s− 1).

Szukamy najmniejszej wartości tej paraboli dla s ≥ 0 (bo t2 ≥ 0 ). Ponieważ jej ramiona są skierowane do góry i wierzchołek jest w punkcie 1+-9- 2 = 5 , więc wartość najmniejsza jest przyjmowana dla s = 5 i wynosi ona − 4 ⋅4 = − 16 . Śledząc zrobione podstawienia jest jasne, że jest to punkt √ -- x = 4± 5 dla oryginalnej funkcji.