Zadanie nr 4591081

Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji 4 3 2 f(x) = 9x + 22x − 12x − 24x + 17 .

Rozwiązanie

Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności liczymy pochodną.

′ 3 2 3 2 f (x) = 36x + 6 6x − 24x − 24 = 6(6x + 11x − 4x − 4 ).

Szukamy teraz miejsc zerowych pochodnej – sprawdzamy najpierw dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby: ± 1,± 2,± 4 . Gdy to zrobimy okaże się, że jednym z pierwiastków pochodnej jest x = − 2 . Dzielimy teraz wielomian w nawiasie przez (x + 2) – można to zrobić na różne sposoby, my zrobimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 6x + 1 1x − 4x − 4 = (6x + 1 2x )− (x + 2x)− (2x + 4) = = 6x 2(x+ 2)− x(x + 2) − 2(x + 2) = (x + 2)(6x2 − x− 2).

Rozkładamy teraz trójmian w nawiasie.

2 6x − x − 2 = 0 Δ = 1+ 48 = 49 x = 1−--7-= − 1- lub x = 1-+-7-= 2. 12 2 12 3

W takim razie

( 1 ) ( 2) f′(x) = 3 6(x+ 2) x + -- x − -- . 2 3

To oznacza, że pochodna jest dodatnia na przedziałach: ( 1) − 2,− 2 i (2 ) 3,+ ∞ oraz ujemna na przedziałach (− ∞ ,− 2) i ( ) 1 2 − 2,3 .

W takim razie funkcja jest rosnąca na przedziałach ⟨ ⟩ − 2,− 12 i ⟨2 ) 3,+ ∞ oraz malejąca na przedziałach (− ∞ ,− 2 ⟩ i ⟨ 1 2⟩ − 2, 3 . Na koniec, dla ciekawskich, wykres funkcji f (x ) .