/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany

Zadanie nr 7272228

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wielomian określony wzorem 3 3 2 W (x) = 2x + (m + 2)x − 11x − 2(2m + 1) jest podzielny przez dwumian (x− 2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x + 1) daje resztę 6. Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W (x) ≤ 0 .

Rozwiązanie

Jeżeli wielomian W (x) dzieli się przez (x − 2 ) , to W (2) = 0 . Podobnie, jeżeli jego reszta z dzielenia przez (x + 1) jest równa 6, to W (− 1) = 6 (wynika to natychmiast z dzielnia z resztą: W (x ) = (x+ 1)Q (x)+ R ). Mamy zatem układ równań

{ 0 = W (2) = 16+ 4m 3 + 8 − 22 − 4m − 2 = 4m 3 − 4m 3 3 6 = W (− 1) = − 2 + m + 2+ 11 − 4m − 2 = m − 4m + 9. { 0 = 4m (m − 1)(m + 1) 0 = m 3 − 4m + 3.

Z pierwszego równania mamy m ∈ {0,− 1,1 } . Łatwo sprawdzić, że spośród tych liczb tylko m = 1 spełnia drugie równanie. Zatem

W (x) = 2x 3 + 3x 2 − 1 1x− 6.

Wiemy ponadto, że wielomian ten dzieli się przez (x− 2) . Wykonujemy to dzielenie – my zrobimy to grupując wyrazy.

2x3+ 3x 2 − 1 1x− 6 = (2x 3 − 4x 2)+ (7x 2 − 14x) + (3x − 6) = 2 2 = 2x (x − 2)+ 7x(x − 2) + 3(x − 2 ) = (2x + 7x + 3)(x − 2).

Rozkładamy jeszcze trójmian w pierwszym nawiasie.

2 2x + 7x + 3 = 0 Δ = 49− 24 = 25 − 7 − 5 − 7+ 5 1 x1 = ------- = − 3, x2 = ------- = − --. 4 4 2

Mamy zatem

( 1 ) W (x) = 2(x+ 3) x + -- (x − 2) 2

i rozwiązaniem nierówności W (x ) ≤ 0 jest zbiór

⟨ 1 ⟩ x ∈ (− ∞ ,− 3⟩∪ − -,2 . 2

PIC

 
Odpowiedź: m = 1 , ⟨ ⟩ x ∈ (− ∞ ,−3 ⟩∪ − 12,2

Wersja PDF