Zadanie nr 9488344

Reszta z dzielenia wielomianu 3 2 x + px − x + q przez trójmian 2 (x + 2) wynosi 1 − x . Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

Rozwiązanie

Sposób I

Podzielmy podany wielomian przez (x + 2)2 = x2 + 4x+ 4 . My zrobimy to grupując wyrazy.

x3 + px2 − x + q = 3 2 2 = (x + 4x + 4x )+ (p − 4 )(x + 4x+ 4)− 4x − 4(p − 4)x − x − 4 (p − 4)+ q = = (x + 2)2(x + (p − 4)) + x(1 1− 4p )+ 16− 4p + q.

Ponieważ reszta ma być równa 1 − x mamy p = 3 i

1 = 16 − 4p + q = 4+ q ⇒ q = − 3.

Zatem nasz wielomian to

W (x) = (x + 2)2(x − 1) − (x − 1) = (x − 1 )((x+ 2)2 − 1 ) = = (x − 1)(x + 2 − 1)(x + 2 + 1) = (x− 1)(x+ 1)(x + 3).

Sposób II

Z podanych informacji wiemy, że

3 2 2 2 x + px − x+ q = (x + 2) Q (x) + 1 − x = (x + 4x+ 4)Q (x)+ 1− x,

dla pewnego wielomianu Q (x) . Ponieważ lewa strona jest wielomianem stopnia 3, Q(x ) jest wielomianem liniowym.

x3 + px 2 − x + q = (x2 + 4x + 4)(ax + b) + 1 − x,

Patrząc na wpółczynnik przy po obu stronach równania mamy a = 1 , a patrząc na współczynnik przy mamy

− 1 = 4 + 4b − 1 ⇒ b = −1 .

Mamy zatem

x3 + px 2 − x + q = (x+ 2)2(x − 1)− (x − 1) = (x − 1)((x + 2)2 − 1) = = (x − 1)(x + 2 − 1 )(x + 2+ 1 ) = (x− 1)(x + 1)(x + 3).

Odpowiedź: x ∈ { −3 ,−1 ,1}