Zadanie nr 2168404

Dany okrąg to okrąg o środku i promieniu . Szkicujemy opisaną sytuację.

Jeżeli w miarę dokładnie wykonamy rysunek, to możemy nabrać podejrzeń, że dana prosta przechodzi przez środek danego okręgu. Łatwo sprawdzić, że faktycznie tak jest – wystarczy podstawić współrzędne punktu do równania prostej:

W szczególności, odcinek jest średnicą okręgu, czyli

Wyznaczmy jeszcze współrzędne punktów i – będą nam później potrzebne do wyznaczenia punktu . Podstawiamy do równania okręgu.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

Wtedy odpowiednio i . Nie mamy żadnej dodatkowej informacji na temat położenia punktów i , więc nie wiemy który z nich jest w I ćwiartce, a który jest w II ćwiartce. Przyjmijmy więc oznaczenia z rysunku, tzn. i – jak się okaże ten wybór nie ma znaczenia z punktu widzenia rozwiązania.

Jeżeli do tej pory nie zauważyliśmy, że punkt leży na odcinku , to mamy kolejną dobrą okazję, żeby to zauważyć – wystarczy obliczyć długość odcinka

Faktycznie jest to więc średnica danego okręgu.

Podane pole pozwala obliczyć długość wysokości .

Kąt jako kąt oparty na średnicy jest prosty (są cztery możliwe położenia punktu , ale nie przejmujmy się tym na razie). Będziemy chcieli skorzystać ze znanego faktu, że wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną. Jeżeli więc oznaczymy , to oraz

Zauważmy teraz, że jeżeli , to punkt leży wewnątrz odcinka , czyli w II ćwiartce. To jest jednak sprzeczne z podaną informacją, że jest punktem I ćwiartki (obie współrzędne są dodatnie). W takim razie i . Pozostało wyznaczyć współrzędne punktu - użyjemy do tego rachunku wektorowego.

Mamy stąd

i .  
Odpowiedź: