Zadanie nr 2168404
W okrąg o równaniu wpisano trójkąt
, którego pole jest równe 20. Bok
tego trójkąta jest zawarty w prostej o równaniu
, a wysokość opuszczona z wierzchołka
przecina bok
w punkcie
, którego obie współrzędne są dodatnie. Oblicz współrzędne punktu
.
Rozwiązanie
Dany okrąg to okrąg o środku i promieniu
. Szkicujemy opisaną sytuację.
Jeżeli w miarę dokładnie wykonamy rysunek, to możemy nabrać podejrzeń, że dana prosta przechodzi przez środek
danego okręgu. Łatwo sprawdzić, że faktycznie tak jest – wystarczy podstawić współrzędne punktu
do równania prostej:
![4⋅ 4+ 3 ⋅(− 2) − 10 = 0 .](https://img.zadania.info/zad/2168404/HzadR6x.png)
W szczególności, odcinek jest średnicą okręgu, czyli
![AB = 2r = 1 0.](https://img.zadania.info/zad/2168404/HzadR8x.png)
Wyznaczmy jeszcze współrzędne punktów i
– będą nam później potrzebne do wyznaczenia punktu
. Podstawiamy
do równania okręgu.
![( ) 2 2 2 3- 3- 2 25 = (x + 2 ) + (y − 4) = (x + 2) + − 4 x− 2 25 = x 2 + 4x + 4+ 9-x 2 + 9x + 9- / ⋅16 16 4 4 0 = 2 5x2 + 100x − 300 / : 25 2 0 = x + 4x − 12.](https://img.zadania.info/zad/2168404/HzadR13x.png)
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
![Δ = 16 + 48 = 64 − 4 − 8 − 4 + 8 x = ------- = − 6 lub x = ------- = 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/2168404/HzadR14x.png)
Wtedy odpowiednio i
. Nie mamy żadnej dodatkowej informacji na temat położenia punktów
i
, więc nie wiemy który z nich jest w I ćwiartce, a który jest w II ćwiartce. Przyjmijmy więc oznaczenia z rysunku, tzn.
i
– jak się okaże ten wybór nie ma znaczenia z punktu widzenia rozwiązania.
Jeżeli do tej pory nie zauważyliśmy, że punkt leży na odcinku
, to mamy kolejną dobrą okazję, żeby to zauważyć – wystarczy obliczyć długość odcinka
![∘ ------------------- 2 2 √ -------- AB = (2+ 6) + (1 − 7 ) = 64+ 36 = 10 .](https://img.zadania.info/zad/2168404/HzadR24x.png)
Faktycznie jest to więc średnica danego okręgu.
Podane pole pozwala obliczyć długość wysokości .
![1- 20 = 2AB ⋅CD = 5CD ⇒ CD = 4.](https://img.zadania.info/zad/2168404/HzadR26x.png)
Kąt jako kąt oparty na średnicy jest prosty (są cztery możliwe położenia punktu
, ale nie przejmujmy się tym na razie). Będziemy chcieli skorzystać ze znanego faktu, że wysokość
opuszczona z wierzchołka kąta prostego jest średnią geometryczną długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną. Jeżeli więc oznaczymy
, to
oraz
![2 1 6 = CD = AD ⋅BD = x (10− x) x2 − 10x + 1 6 = 0 Δ = 100 − 64 = 36 10-−-6- 1-0+--6 x = 2 = 2 lub x = 2 = 8.](https://img.zadania.info/zad/2168404/HzadR32x.png)
Zauważmy teraz, że jeżeli , to punkt
leży wewnątrz odcinka
, czyli w II ćwiartce. To jest jednak sprzeczne z podaną informacją, że
jest punktem I ćwiartki (obie współrzędne są dodatnie). W takim razie
i
. Pozostało wyznaczyć współrzędne punktu
- użyjemy do tego rachunku wektorowego.
![−→ -8-−→ 4- AD = 10AB = 5 [2 + 6,1 − 7] [32 24] [xD + 6,yD − 7] = ---,− --- . 5 5](https://img.zadania.info/zad/2168404/HzadR40x.png)
Mamy stąd
![{ 32 2 xD = 5 − 6 = 5 yD = − 254+ 7 = 115](https://img.zadania.info/zad/2168404/HzadR41x.png)
i .
Odpowiedź: