Zadanie nr 4135721
Boki trójkąta są zawarte w prostych o równaniach
,
i
. Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie
.
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Aby wyznaczyć środek okręgu opisanego napiszemy równania dwóch symetralnych boków trójkąta i znajdziemy ich punkt wspólny.
Zanim to jednak zrobimy wyznaczmy punkty wspólne podanych prostych.

Odejmując od pierwszego równania drugie mamy

Zatem i
.
Kolejne dwie proste

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

Zatem i
.
Jeszcze współrzędne punktu .

Odejmujemy do drugiego równania pierwsze.

Stąd i
.
Środki boków i
trójkąta
mają współrzędne

Chcemy teraz napisać równanie prostej prostopadłej do i przechodzącej przez
. Wiemy, że prosta
ma współczynnik kierunkowy 1, więc prosta
musi być postaci
. Współczynnik
wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu
.

Zatem prosta ma równanie
.
Analogicznie wyznaczamy równanie symetralnej boku
. Ma ona postać
i
wyliczamy podstawiając współrzędne punktu
.

Zatem prosta ma równanie
.
Szukamy teraz punktu wspólnego dwóch symetralnych, czyli współrzędnych punktu .

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

Zatem i
.
Odpowiedź: