Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4158930

W trójkącie ABC , w którym A = (− 2,− 2) oraz B = (4 ,4) , kąt przy wierzchołku B jest rozwarty. Bok AC zawiera się w prostej k : x− 3y − 4 = 0 . Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC znajduje się w odległości √ --- 10 od boku AC . Wyznacz równanie tego okręgu.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt wspólny symetralnych jego boków. W naszej sytuacji łatwo napisać równanie jednej z symetralnych, więc od tego zacznijmy.

Symetralna boku AB to zbiór punktów P = (x,y ) , które są tak samo odległe od A i od B . Mamy stąd równanie

 2 2 AX = BX (x + 2)2 + (y+ 2)2 = (x − 4)2 + (y − 4)2 2 2 2 2 x + 4x + 4 + y + 4y + 4 = x − 8x + 16+ y − 8y+ 16 12y + 12x = 24 y = −x + 2.

Oczywiście równanie symetralnej odcinka AB mogliśmy napisać na różne inne sposoby: np. korzystając z tego, że jest to prosta prostopadła do prostej AB i przechodząca przez środek odcinka AB , albo korzystając ze wzoru na prostą prostopadłą do wektora i przechodzącą przez punkt.

Zapiszmy teraz informację o odległości środka S = (x ,y) okręgu opisanego na trójkącie ABC od danej prostej 3y− x+ 4 = 0 . Korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej mamy

√ --- |3y−--x+--4| 10 = √ 1-+-9- 10 = |3y − x + 4 |.

Aby opuścić wartość bezwzględną, zauważmy, że informacja o tym, że kąt B jest rozwarty oznacza, że środek okręgu opisanego na trójkącie ABC leży na zewnątrz tego trójkąta, czyli w naszej sytuacji poniżej prostej AC . W takim razie współrzędne punktu S spełniają nierówność 3y < x − 4 i powyższy warunek przyjmuje postać

10 = −(3y − x+ 4) 3y − x + 14 = 0.

Współrzędne punktu S spełniają więc układ równań

{ y = −x + 2 3y − x + 14 = 0

Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego.

3(−x + 2) − x + 14 = 0 20 = 4x ⇒ x = 5.

Zatem y = −x + 2 = −3 i S = (5,− 3) . Musimy jeszcze obliczyć promień R okręgu opisanego.

R 2 = AS 2 = (5 + 2)2 + (− 3 + 2)2 = 49 + 1 = 50.

Okrąg opisany ma więc równanie

(x − 5)2 + (y + 3)2 = 50.

 
Odpowiedź:  2 2 (x − 5) + (y + 3) = 50

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!