Zadanie nr 4321887

Punkty A = (− 3,− 1) i B = (3,5) są wierzchołkami trójkąta ABC , a jego wysokości przecinają się w punkcie D = (1,1) . Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Sposób I

Zacznijmy od napisania równań wysokości i . Najpierw – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ −1 = − 3a+ b 1 = a+ b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

1 2 = 4a ⇒ a = -. 2

Stąd 1 b = 1 − a = 2 i wysokość ma równanie 1 1 y = 2x + 2 .

Analogicznie wyznaczamy równanie wysokości – szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ 5 = 3a+ b 1 = a+ b

Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy

4 = 2a ⇒ a = 2.

Stąd b = 1 − a = − 1 i wysokość ma równanie y = 2x− 1 .

Teraz łatwo już napisać równania boków i . Prosta jest prostopadła do wysokości , więc ma równanie postaci y = − 1x+ b 2 . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

3 5 − 1 = --+ b ⇒ b = − --. 2 2

Bok ma więc równanie y = − 1x − 5 2 2 . Analogicznie wyznaczamy równanie prostej . Jest ona prostopadła do wysokości , więc ma równanie postaci y = − 2x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .

5 = − 6 + b ⇒ b = 11

Bok ma więc równanie y = −2x + 11 . Teraz wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego dla prostych i .

{ y = − 1x − 5 2 2 y = − 2x + 11

Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy

1 5 0 = 2x − -x − -− 11 2 2 3-x = 2-7 ⇒ x = 27-⋅ 2-= 9 2 2 2 3

Stąd y = − 2x + 1 1 = − 18+ 11 = − 7 i C = (9,− 7) .

Interesująca nas długość wysokości opuszczonej na bok , to dokładnie odległość punktu od prostej . Napiszmy równanie tej prostej. Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ −1 = − 3a+ b 5 = 3a + b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

6 = 6a ⇒ a = 1.

Stąd b = 5 − 3a = 5− 3 = 2 i prosta ma równanie

y = x + 2 y − x − 2 = 0.

Pozostało obliczyć odległość punktu od prostej . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax + By + C| ---0√------0-----. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

√ -- √ -- |−√-7−--9−--2|= √18-= 18--2-= 9 2. 1 2 + 1 2 2 2

Sposób II

Równania prostych i możemy napisać trochę prościej – wystarczy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora →v = [p,q] i przechodzącej przez punkt P = (x0,y0)