Zadanie nr 4321887
Punkty i są wierzchołkami trójkąta , a jego wysokości przecinają się w punkcie . Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok .
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Sposób I
Zacznijmy od napisania równań wysokości i . Najpierw – szukamy prostej w postaci i podstawiamy współrzędne punktów i .
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
Stąd i wysokość ma równanie .
Analogicznie wyznaczamy równanie wysokości – szukamy prostej w postaci i podstawiamy współrzędne punktów i .
Odejmujemy od pierwszego równania drugie i mamy
Stąd i wysokość ma równanie .
Teraz łatwo już napisać równania boków i . Prosta jest prostopadła do wysokości , więc ma równanie postaci . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .
Bok ma więc równanie . Analogicznie wyznaczamy równanie prostej . Jest ona prostopadła do wysokości , więc ma równanie postaci . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .
Bok ma więc równanie . Teraz wyznaczamy współrzędne punktu wspólnego dla prostych i .
Odejmujemy teraz od pierwszego równania drugie i mamy
Stąd i .
Interesująca nas długość wysokości opuszczonej na bok , to dokładnie odległość punktu od prostej . Napiszmy równanie tej prostej. Szukamy prostej w postaci i podstawiamy współrzędne punktów i .
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy
Stąd i prosta ma równanie
Pozostało obliczyć odległość punktu od prostej . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej :
W naszej sytuacji mamy
Sposób II
Równania prostych i możemy napisać trochę prościej – wystarczy skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora i przechodzącej przez punkt
Napiszemy najpierw równanie prostej – przechodzi ona przez punkt i jest prostopadła do wektora
Ma więc równanie
Analogicznie wyznaczamy równanie prostej – przechodzi ona przez punkt i jest prostopadła do wektora
Ma więc równanie
Współrzędne punktu i długość wysokości wyznaczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: