/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Różne

Zadanie nr 7490722

Proste k i l przecinają się w punkcie A = (0,6) . Prosta k przecina ujemną półoś Ox w punkcie B i tworzy z osiami układu trójkąt o polu 6, a prosta l przecina dodatnią półoś Ox w punkcie C i tworzy z osiami układu trójkąt o polu 24. Oblicz długość wysokości trójkąta ABC opuszczonej z wierzchołka B .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Trójkąty ABO i ACO utworzone przez proste k,l i osie układu są oba prostokątne i jedna z ich przyprostokątnych ma długość AO = 6 . Z podanych pól mamy

BO = 2 ⇒ B = (− 2,0) CO = 8 ⇒ C = (8,0).

Sposób I

Pole trójkąta ABC jest sumą pól trójkątów ABO i ACO , wiec jest równe 6 + 24 = 30 . Aby obliczyć długość wysokości h opuszczonej z wierzchołka B obliczamy długość odcinka AC .

∘ ------- √ ---- AC = 62 + 8 2 = 100 = 1 0.

Korzystamy teraz ze wzoru na pole trójkąta.

1 --AC ⋅ h = PABC = 30 2 5h = 3 0 ⇒ h = 6.

Sposób II

Zauważmy, że

∘ ------- √ ---- AC = 6 2 + 82 = 100 = 10 = BC .

To oznacza, że trójkąt ABC jest równoramienny. W szczególności jego wysokości opuszczone z wierzchołków A i B mają równe długości. Stąd

h = AO = 6.

 
Odpowiedź: 6

Wersja PDF