Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7645888

Punkt A = (− 6,1) jest wierzchołkiem trójkąta ABC , a punkt D jest środkiem odcinka AB . Równania prostych AB , CD oraz symetralnej boku BC to odpowiednio y = 12x + 4 , y = − 74x − 5 i y = x + 11 . Napisz równanie prostej zawierającej wysokość trójkąta ABC opuszczoną z wierzchołka C .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Zacznijmy od wyznaczenia punktu D – jest to punkt wspólny podanych prostych AB i CD .

{ y = 12x + 4 7 y = − 4x− 5.

Porównując y -ki mamy

1 7 -x + 4 = − -x − 5 / ⋅4 2 4 2x + 16 = −7x − 20 ⇒ 9x = − 36 ⇒ x = − 4.

Stąd y = 1 x+ 4 = 2 2 i D = (− 4,2) .

Wyznaczamy teraz wierzchołek B = (x ,y ) B B trójkąta ABC – korzystamy z tego, że D jest środkiem odcinka AB .

 A + B ( − 6 + x 1 + y ) D = -------= -------B-,-----B- { 2 2 2 − 4 = −-6+xB ⇒ x = − 2 1+yB 2 B 2 = --2-- ⇒ yB = 3.

Zatem B = (−2 ,3) i możemy napisać równanie prostej BC – jest to prosta prostopadła do podanej symetralnej y = x+ 11 i przechodząca przez B . Szukamy więc prostej w postaci y = −x + b i podstawiamy współrzędne punktu B .

3 = 2+ b ⇒ b = 1.

Zatem prosta BC ma równanie y = −x + 1 i możemy wyznaczyć współrzędne punktu C – jest to punkt wspólny prostych BC i CD .

{ y = −x + 1 y = − 7x − 5 4

Porównujemy y -ki.

 7 − x + 1 = − -x − 5 4 3x = − 6 ⇒ x = − 6 ⋅ 4-= − 8. 4 3

Stąd y = −x + 1 = 9 i C = (− 8 ,9 ) . Pozostało teraz napisać równanie wysokości opuszczonej z wierzchołka C . Jest to prosta prostopadła do AB i przechodząca przez C . Szukamy równania w postaci y = − 2x + b i podstawiamy współrzędne punktu C .

9 = 16 + b ⇒ b = − 7.

Interesująca nas wysokość ma więc równanie y = − 2x − 7 .  
Odpowiedź: y = −2x − 7

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!