Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7803795

Punkty A = (− 5,2) i B = (4,− 3) są wierzchołkami trójkąta ABC , a wysokości opuszczone z wierzchołków A i B tego trójkąta zawierają się odpowiednio w prostych o równaniach x + 4y − 3 = 0 oraz 12x + 7y− 27 = 0 . Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok AB .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Napiszemy najpierw równanie prostej AC – jest to prosta prostopadła do wysokości y = − 127 x + 277 poprowadzonej z wierzchołka B i przechodząca przez punkt A . Jest to więc prosta postaci y = -7x + b 12 . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu A .

 7 35 5 9 2 = ---⋅(− 5)+ b ⇒ b = 2 + ---= ---. 12 12 1 2

Prosta AC ma więc równanie:

 -7- 59- y = 12 x + 12 .

Dokładnie w ten sam sposób wyznaczamy równanie prostej BC – jest to prosta prostopadła do wysokości y = − 1x + 3 4 4 poprowadzonej z wierzchołka A i przechodząca przez punkt B . Jest to więc prosta postaci y = 4x+ b . Współczynnik b wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu B .

− 3 = 4⋅4 + b ⇒ b = − 19.

Prosta BC ma więc równanie:

y = 4x − 19 .

Wyznaczamy teraz punkt wspólny C prostych AC i BC .

{ y = 7-x + 59 12 12 y = 4x − 19.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

 7-- 59- 0 = 4x − 12x − 1 9− 12 /⋅ 12 0 = 4 8x− 7x − 228 − 59 287 = 41x ⇒ x = 7.

Stąd y = 4x − 1 9 = 9 i C = (7,9) .

Interesująca nas długość wysokości opuszczonej na bok AB , to dokładnie odległość punktu C od prostej AB . Napiszmy równanie tej prostej. Szukamy prostej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów A i B .

{ 2 = − 5a+ b − 3 = 4a+ b.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

 5 − 5 = 9a ⇒ a = − -. 9

Stąd  25 7 b = 2 + 5a = 2− 9 = − 9 i prosta AB ma równanie

 5 7 y = − 9-x − 9- / ⋅9 9y + 5x + 7 = 0.

Pozostało obliczyć odległość punktu C od prostej AB . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji mamy

 √ ---- |9⋅9 + 5 ⋅7 + 7| 1 23 123 106 ---√---2---2---- = √------= --10-6---. 9 + 5 106

 
Odpowiedź: 123√106 --106--

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!