Punkty A=(-5,2) i B=(4,-3) są wierzchołkami trójkąta ABC, a wysokości... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 7803795

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Różne

Zadanie nr 7803795

Punkty $A = (− 5,2)$ i $B = (4,− 3)$ są wierzchołkami trójkąta $ABC$ , a wysokości opuszczone z wierzchołków $A$ i $B$ tego trójkąta zawierają się odpowiednio w prostych o równaniach $x + 4y − 3 = 0$ oraz $12x + 7y− 27 = 0$ . Oblicz długość wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok $AB$ .

Rozwiązanie

Zaczynamy od szkicowego rysunku.

Napiszemy najpierw równanie prostej $AC$ – jest to prosta prostopadła do wysokości $y = − 127 x + 277$ poprowadzonej z wierzchołka $B$ i przechodząca przez punkt $A$ . Jest to więc prosta postaci $y = -7x + b 12$ . Współczynnik $b$ wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu $A$ .

7 35 5 9 2 = ---⋅(− 5)+ b ⇒ b = 2 + ---= ---. 12 12 1 2

Prosta $AC$ ma więc równanie:

-7- 59- y = 12 x + 12 .

Dokładnie w ten sam sposób wyznaczamy równanie prostej $BC$ – jest to prosta prostopadła do wysokości $y = − 1x + 3 4 4$ poprowadzonej z wierzchołka $A$ i przechodząca przez punkt $B$ . Jest to więc prosta postaci $y = 4x+ b$ . Współczynnik $b$ wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu $B$ .

− 3 = 4⋅4 + b ⇒ b = − 19.

Prosta $BC$ ma więc równanie:

y = 4x − 19 .

Wyznaczamy teraz punkt wspólny $C$ prostych $AC$ i $BC$ .

{ y = 7-x + 59 12 12 y = 4x− 19.

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy

7-- 59- 0 = 4x − 12x − 1 9− 12 /⋅ 12 0 = 4 8x− 7x − 228 − 59 287 = 41x ⇒ x = 7.

Stąd $y = 4x − 1 9 = 9$ i $C = (7,9)$ .

Interesująca nas długość wysokości opuszczonej na bok $AB$ , to dokładnie odległość punktu $C$ od prostej $AB$ . Napiszmy równanie tej prostej. Szukamy prostej w postaci $y = ax + b$ i podstawiamy współrzędne punktów $A$ i $B$ .