Zadanie nr 9157119
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt jest wierzchołkiem trójkąta . Prosta o równaniu zawiera dwusieczną kąta tego trójkąta. Okrąg o równaniu jest wpisany w ten trójkąt. Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki i tego trójkąta z okręgiem .
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację – dany okrąg to oczywiście okrąg o środku i promieniu . W szczególności jest on styczny do osi .
Spróbujemy napisać równania prostych zawierających boki i trójkąta . Obie te proste przechodzą przez punkt , czyli mają równanie postaci
Współczynnik możemy wyznaczyć z faktu, że odległość środka okręgu wpisanego w trójkąt od każdej z tych prostych jest równa równa . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej :
Mamy zatem
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe
Otrzymujemy wtedy odpowiednio proste
i
Jeżeli dość dokładnie naszkicujemy obie proste w układzie współrzędnych, to będzie widać, że trudno jest odtworzyć trójkąt jeżeli punkt miałby być punktem wspólnym danej dwusiecznej i prostej . Przyczyną tego problemu jest fakt, że w tym przypadku kąt jest większy od , co oznaczałoby, że kąt jest większy od , a to oczywiście nie jest możliwe. Aby precyzyjnie uzasadnić kluczową obserwację w tym rozumowaniu – że kąt , patrzymy na współczynniki kierunkowe obu prostych. Prosta tworzy z osią kąt , dla którego
Prosta prostopadła do tej prostej będzie mieć współczynnik kierunkowy
co oznacza, że prosta jest bardziej pionowa, niż prosta prostopadła do dwusiecznej . Zatem rzeczywiście w tym przypadku mielibyśmy , co nie jest możliwe.
W takim razie prosta ma równanie i współrzędne punktu są rozwiązaniem układu równań
Stąd oczywiście . Wiemy jednocześnie, że dany okrąg jest styczny do prostej , która przechodzi przez punkt , więc musi to być prosta zawierająca bok trójkąta . To z kolei oznacza, że punkt wspólny danego okręgu i boku to punkt .
Odpowiedź: