/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Trójkąt/Dowolny/Różne

Zadanie nr 9157119

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) punkt A = (9,12 ) jest wierzchołkiem trójkąta ABC . Prosta k o równaniu y = 12x zawiera dwusieczną kąta ABC tego trójkąta. Okrąg O o równaniu (x − 8)2 + (y − 4)2 = 1 6 jest wpisany w ten trójkąt. Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki B i C tego trójkąta z okręgiem O .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację – dany okrąg to oczywiście okrąg o środku S = (8,4) i promieniu r = 4 . W szczególności jest on styczny do osi Ox .

PIC

Spróbujemy napisać równania prostych zawierających boki AB i AC trójkąta ABC . Obie te proste przechodzą przez punkt A = (9,12) , czyli mają równanie postaci

y = a(x− 9)+ 12 0 = ax− y− 9a+ 12.

Współczynnik a możemy wyznaczyć z faktu, że odległość środka S = (8,4) okręgu wpisanego w trójkąt ABC od każdej z tych prostych jest równa równa r = 4 . Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

|Ax-0-+-By-0 +-C|- √ --2----2- . A + B

Mamy zatem

|8a − 4 − 9a + 12| ∘ ------ 4 = -----√--2--------- / ⋅ a2 + 1 ∘ ------ a + 1 4 a2 + 1 = |8 − a| / ()2 16a2 + 16 = 6 4− 16a+ a2 2 15a + 16a − 48 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

2 Δ = 256 + 28 80 = 3136 = 56 − 16 − 56 72 12 − 16+ 56 4 a = ----30----= − 30-= − 5-- lub a = ---30-----= 3.

Otrzymujemy wtedy odpowiednio proste

12- 12- 10-8 12- 168- y = a(x − 9) + 12 = − 5 (x − 9) + 12 = − 5 x + 5 + 12 = − 5 x+ 5 .

i

4 4 4 y = a(x− 9)+ 12 = --(x− 9)+ 12 = --x− 12 + 12 = -x. 3 3 3

Jeżeli dość dokładnie naszkicujemy obie proste w układzie współrzędnych, to będzie widać, że trudno jest odtworzyć trójkąt ABC jeżeli punkt B miałby być punktem wspólnym danej dwusiecznej k i prostej 12 168 y = − 5-x+ -5- . Przyczyną tego problemu jest fakt, że w tym przypadku kąt ABS jest większy od 9 0∘ , co oznaczałoby, że kąt ABC jest większy od 180∘ , a to oczywiście nie jest możliwe. Aby precyzyjnie uzasadnić kluczową obserwację w tym rozumowaniu – że kąt ∘ |∡ABS | > 9 0 , patrzymy na współczynniki kierunkowe obu prostych. Prosta k tworzy z osią Ox kąt α , dla którego

tg α = 1. 2

Prosta prostopadła do tej prostej będzie mieć współczynnik kierunkowy

12- − 2 > − 5 ,

co oznacza, że prosta y = − 125 x + 1658- jest bardziej pionowa, niż prosta prostopadła do dwusiecznej k . Zatem rzeczywiście w tym przypadku mielibyśmy ∘ |∡ABS | > 90 , co nie jest możliwe.

W takim razie prosta AB ma równanie 4 y = 3x i współrzędne punktu B są rozwiązaniem układu równań

{ y = 12x y = 4x. 3

Stąd oczywiście B = (0 ,0) . Wiemy jednocześnie, że dany okrąg jest styczny do prostej y = 0 , która przechodzi przez punkt B , więc musi to być prosta zawierająca bok BC trójkąta ABC . To z kolei oznacza, że punkt wspólny danego okręgu i boku BC to punkt (x ,0) = (8,0) S .  
Odpowiedź: (8,0)

Wersja PDF