Zadanie nr 9621371

Boki i trójkąta ABC są zawarte w prostych y = 7x − 13 i y = − 12x + 2 , a jego dwa wierzchołki mają współrzędne B = (1,− 6) i C = (10,− 3) . Oblicz współrzędne spodka wysokości tego trójkąta opuszczonej na bok .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Wyznaczamy najpierw współrzędne wierzchołka trójkąta – jest to punkt wspólny podanych prostych i .

{ y = − 12x + 2 y = 7x − 13.

Porównujemy -ki i mamy

1 − -x + 2 = 7x − 13 / ⋅2 2 − x + 4 = 14x − 26 30 = 15x ⇒ x = 2.

Stąd y = 7x − 1 3 = 1 i A = (2,1) .

Wyznaczamy teraz równanie prostej . Szukamy prostej w postaci y = ax+ b i podstawiamy współrzędne punktów i .

{ − 6 = a + b − 3 = 10a + b

Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 3 = 9a , czyli 1 a = 3 . Stąd b = − 6− a = − 19 3 i prosta ma równanie y = 1x − 19 3 3 .

Prosta zawierająca wysokość opuszczoną z wierzchołka jest prostopadła do prostej , więc ma równanie postaci y = − 3x + b . Współczynnik wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu .