/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Różne

Zadanie nr 2826020

Funkcja g jest określona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w następujący sposób: jeśli x ∈ ⟨k,k+ 1) dla pewnej liczby całkowitej k , to g (x ) = kx − k − 1 .

  • Narysuj wykres funkcji g w przedziale ⟨− 2,0) .
  • Uzasadnij, że funkcja g nie ma miejsc zerowych.
  • Rozwiąż równanie g (x) = 2010 .
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Najważniejsze w tym zadaniu to wyobrazić sobie jak funkcja g wygląda. Należy sobie o niej myśleć jak o kawałkach prostych na kolejnych przedziałach x ∈ ⟨k,k+ 1) , np. mamy
    − 2x+ 1 dla x ∈ ⟨− 2,− 1) −x dla x ∈ ⟨− 1,0 ) − 1 dla x ∈ ⟨0 ,1) x− 2 dla x ∈ ⟨1 ,2) 2x− 3 dla x ∈ ⟨2 ,3),

    itd.

    PIC

    Narysowaliśmy wykres na większym przedziale niż jest w poleceniu (żeby było lepiej widać o co chodzi), aby mieć odpowiedź do polecenia, trzeba oczywiście zmazać wszystko na prawo od 0.

  • Powyższy rysunek sugeruje rozwiązanie. Dla k = 0 i k = 1 sprawdzamy ze wzoru, że nie ma miejsc zerowych.Dla pozostałych wartości k pokażemy, że wartości g są dodatnie. Jeżeli k ≥ 2 to x ≥ k i mamy
    kx− k− 1 ≥ 2x − k − 1 ≥ 2k − k − 1 = k− 1 > 0.

    Jeżeli k ≤ − 1 to x < k + 1 ≤ 0 i

    kx − k − 1 > 0 − k − 1 ≥ 0 .
  • Liczymy
    kx− k− 1 = 2010 k(x− 1) = 2011 .

    Jeżeli k > 0 , to z nierówności k ≤ x < k + 1 mamy

    k(k − 1) ≤ k (x − 1) < k2 2 k(k − 1) ≤ 2 011 < k .

    Jedyną liczbą k , która spełnia tę nierówność jest k = 45 . Wtedy

    x = 201-1+ 1 = 20-56. 45 4 5

    Jeżeli natomiast k < 0 , to podobnie jak poprzednio

    2 k(k − 1) ≥ k (x − 1) > k k(k − 1) ≥ 2 011 > k2.

    Łatwo się przekonać, że nie ma takiej liczby całkowitej k (prawa strona wymusza k = − 4 4 , ale wtedy lewa strona jest za mała).  
    Odpowiedź: x = 2056 45

Wersja PDF