Zadanie nr 2826020
Funkcja jest określona w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w następujący sposób: jeśli
dla pewnej liczby całkowitej
, to
.
- Narysuj wykres funkcji
w przedziale
.
- Uzasadnij, że funkcja
nie ma miejsc zerowych.
- Rozwiąż równanie
.
Rozwiązanie
- Najważniejsze w tym zadaniu to wyobrazić sobie jak funkcja
wygląda. Należy sobie o niej myśleć jak o kawałkach prostych na kolejnych przedziałach
, np. mamy
itd.
Narysowaliśmy wykres na większym przedziale niż jest w poleceniu (żeby było lepiej widać o co chodzi), aby mieć odpowiedź do polecenia, trzeba oczywiście zmazać wszystko na prawo od 0.
- Powyższy rysunek sugeruje rozwiązanie. Dla
i
sprawdzamy ze wzoru, że nie ma miejsc zerowych.Dla pozostałych wartości
pokażemy, że wartości
są dodatnie. Jeżeli
to
i mamy
Jeżeli
to
i
- Liczymy
Jeżeli
, to z nierówności
mamy
Jedyną liczbą
, która spełnia tę nierówność jest
. Wtedy
Jeżeli natomiast
, to podobnie jak poprzednio
Łatwo się przekonać, że nie ma takiej liczby całkowitej
(prawa strona wymusza
, ale wtedy lewa strona jest za mała).
Odpowiedź: