Dany jest wielomian W(x)=-2x^3 +kx^2 + 4x-8. Wyznacz wartość... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 3016428

Forum

Stopnia 3

Zadanie nr 3016428

Dany jest wielomian $3 2 W (x) = − 2x + kx + 4x − 8$ .

Wyznacz wartość $k$ tak, aby reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian $x + 1$ była równa -6.
Dla znalezionej wartości $k$ rozłóż wielomian na czynniki liniowe.
Dla znalezionej wartości $k$ rozwiąż nierówność $W (x + 1) ≤ − 3x 3 + 5x − 2$ .

Rozwiązanie

Reszta z dzielenia $W (x)$ przez dwumian $x+ 1$ to $W (−1 )$ . Mamy zatem równanie $2 + k− 4− 8 = − 6 ⇒ k = 4 .$

Odpowiedź: $k = 4$
Dla $k = 4$ mamy wielomian $W (x) = − 2x 3 + 4x 2 + 4x− 8.$
Sprawdzając dzielniki wyrazu wolnego, łatwo zauważayć, że $x = 2$ jest jego pierwiastkiem. Zatem dzielimy przez $(x − 2)$ . My zrobimy to grupując wyrazy.
$3 2 3 2 2 − 2x + 4x + 4x − 8 = (−2x + 4x )+ √(4x − 8)√=-(x − 2)(− 2x + 4 ) = = − 2(x − 2)(x 2 − 2 ) = − 2(x− 2)(x − 2)(x + 2).$

Odpowiedź: $√ -- √ -- − 2(x − 2)(x − 2)(x + 2 )$
Liczymy $W (x + 1) = − 2 (x + 1)3 + 4 (x+ 1)2 + 4 (x+ 1)− 8 = 3 2 2 − 2x − 6x − 6x − 2 + 4x + 8x + 4 + 4x + 4− 8 = = − 2x3 − 2x2 + 6x − 2 .$
Musimy więc rozwiązać nierówność
$− 2x3 − 2x2 + 6x − 2 ≤ − 3x3 + 5x − 2 3 2 x − 2x + x ≤ 0 x(x 2 − 2x + 1) ≤ 0 2 x(x − 1 ) ≤ 0 x ∈ (− ∞ ,0⟩ ∪ {1}.$

Odpowiedź: $x ∈ (− ∞ ,0⟩ ∪ {1}$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!