Maksymalny przedział, na którym funkcja f(x)=mx^3+mx^2-8x-9 jest... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 4251133

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Stopnia 3

Rozkład (11)
Różne (12)
Z parametrem (19)

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 4251133

Maksymalny przedział, na którym funkcja $3 2 f(x) = mx + mx − 8x − 9$ jest malejąca ma długość 2. Oblicz wartość parametru $m$ oraz wyznacz największą wartość funkcji na przedziale $⟨− 2,1⟩$ .

Rozwiązanie

Jeżeli $m = 0$ , to funkcja $f$ jest funkcją liniową i oczywiście nie może spełniać podanego warunku. Zatem $m ⁄= 0$ i mamy do czynienia z wielomianem stopnia 3. Pochodna tego wielomianu

f′(x) = 3mx 2 + 2mx − 8

jest funkcją kwadratową, której znak decyduje o monotoniczności funkcji $f$ . W takim razie rozwiązaniem nierówności $f′(x) ≤ 0$ musi być przedział $⟨x1,x 2⟩$ długości 2. W szczególności $m > 0$ i $′ f (x)$ musi mieć dwa pierwiastki, czyli

2 0 < Δ = 4m + 96m = 4m (m + 24) m ∈ (− ∞ ,− 24) ∪ (0,+ ∞ ).

Ponadto pierwiastki $x ,x 1 2$ trójmianu $f ′(x )$ muszą spełniać warunek

2 = |x2 − x1| / ()2 2 2 2 4 = x 2 − 2x 1x2 + x1 = (x1 + x2) − 4x1x2.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

{ x1 + x2 = − 23mm- = − 23 x x = − 8-. 1 2 3m

Mamy zatem równanie

2 4- -32 4 = (x1 + x2) − 4x1x 2 = 9 + 3m 32 32 ---= --- ⇒ m = 3. 9 3m

Zatem $′ 2 f (x) = 9x + 6x − 8$ . Wyznaczmy jeszcze miejsca zerowe pochodnej – będzie nam to potrzebne do wyznaczenia największej wartości funkcji.

2 Δ = 36+ 288 = 3 24 = 18 −-6−--18- 4- −-6+--18- 2- x 1 = 18 = − 3, x2 = 18 = 3.

To oznacza, że pochodna jest dodatnia na przedziałach $( ) − ∞ ,− 4 3$ , $( ) 2,+ ∞ 3$ oraz ujemna na przedziale $( ) − 43, 23$ . Zatem funkcja $y = f(x )$ rośnie na przedziałach $( ⟩ − ∞ ,− 43$ , $⟨ ) 23,+ ∞$ oraz maleje na przedziale $⟨ ⟩ − 43, 23$ . W szczególności, w punkcie $4 x = − 3$ funkcja osiąga maksimum lokalne i największa wartość funkcji $f$ na przedziale $⟨− 2,1⟩$ to albo $( ) f − 4 3$ albo $f (1)$ . Obliczamy obie wartości.