Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4251133

Maksymalny przedział, na którym funkcja  3 2 f(x) = mx + mx − 8x − 9 jest malejąca ma długość 2. Oblicz wartość parametru m oraz wyznacz największą wartość funkcji na przedziale ⟨− 2,1⟩ .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jeżeli m = 0 , to funkcja f jest funkcją liniową i oczywiście nie może spełniać podanego warunku. Zatem m ⁄= 0 i mamy do czynienia z wielomianem stopnia 3. Pochodna tego wielomianu

f′(x) = 3mx 2 + 2mx − 8

jest funkcją kwadratową, której znak decyduje o monotoniczności funkcji f . W takim razie rozwiązaniem nierówności f′(x) ≤ 0 musi być przedział ⟨x1,x 2⟩ długości 2. W szczególności m > 0 i  ′ f (x) musi mieć dwa pierwiastki, czyli

 2 0 < Δ = 4m + 96m = 4m (m + 24) m ∈ (− ∞ ,− 24) ∪ (0,+ ∞ ).

Ponadto pierwiastki x ,x 1 2 trójmianu f ′(x ) muszą spełniać warunek

2 = |x2 − x1| / ()2 2 2 2 4 = x 2 − 2x 1x2 + x1 = (x1 + x2) − 4x1x2.

Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a.

{ x1 + x2 = − 23mm- = − 23 x x = − 8-. 1 2 3m

Mamy zatem równanie

 2 4- -32 4 = (x1 + x2) − 4x1x 2 = 9 + 3m 32 32 ---= --- ⇒ m = 3. 9 3m

Zatem  ′ 2 f (x) = 9x + 6x − 8 . Wyznaczmy jeszcze miejsca zerowe pochodnej – będzie nam to potrzebne do wyznaczenia największej wartości funkcji.

 2 Δ = 36+ 288 = 3 24 = 18 −-6−--18- 4- −-6+--18- 2- x 1 = 18 = − 3, x2 = 18 = 3.

To oznacza, że pochodna jest dodatnia na przedziałach ( ) − ∞ ,− 4 3 , ( ) 2,+ ∞ 3 oraz ujemna na przedziale ( ) − 43, 23 . Zatem funkcja y = f(x ) rośnie na przedziałach ( ⟩ − ∞ ,− 43 , ⟨ ) 23,+ ∞ oraz maleje na przedziale ⟨ ⟩ − 43, 23 . W szczególności, w punkcie  4 x = − 3 funkcja osiąga maksimum lokalne i największa wartość funkcji f na przedziale ⟨− 2,1⟩ to albo  ( ) f − 4 3 albo f (1) . Obliczamy obie wartości.

 ( 4 ) ( 64 ) 16 ( 4 ) 64 16 32 f − -- = 3⋅ − --- + 3 ⋅---− 8⋅ − -- − 9 = − ---+ ---+ ---− 9 3 27 9 3 9 3 3 −-64-+-48-+-96-−-81- 1- = 9 = − 9 f(1) = 3⋅1 + 3 ⋅1 − 8 ⋅1− 9 = − 11.

Oczywiście pierwsza z tych liczb stanowi największą wartość funkcji na przedziale ⟨− 2,1 ⟩ .

Na koniec wykres funkcji y = f (x) .


PIC


 
Odpowiedź: m = 3 ,  ( ) fmax = f − 43 = − 19

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!