/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Stopnia 3/Z parametrem

Zadanie nr 6920549

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wielomian 3 2 W (x) = 8x + 14x + 5x + 3 jest iloczynem wielomianów P (x) = 2x + 3 oraz Q (x) = ax 2 + bx+ c . Oblicz wartości współczynników: a,b oraz c .

Rozwiązanie

Sposób I

Mnożymy P(x ) przez Q(x ) .

3 2 2 8x + 14x + 5x + 3 = (2x + 3)(ax + bx + c) = = 2ax3 + (2b + 3a)x 2 + (2c + 3b)x + 3c .

Wielomiany po obu stronach muszą mieć identyczne współczynniki, więc a = 4 (patrzymy na współczynniki przy x3 ) i c = 1 (patrzymy na wyrazy wolne). Porównajmy jeszcze współczynniki przy x

5 = 2c + 3b = 2+ 3b ⇒ 3b = 3 ⇒ b = 1.

Sposób II

Jeżeli W (x) = P(x) ⋅Q (x) , to wielomian W dziali się przez P(x ) = 2x + 3 i wynik tego dzielenia to Q(x ) . Dzielimy tak jak jest nam wygodnie – my robimy to grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 W (x) = 8x + 14x + 5x + 3 = (8x + 12x )+ (2x + 3x)+ (2x + 3) = 2 2 = 4x (2x + 3)+ x (2x + 3)+ (2x + 3) = (2x + 3)(4x + x+ 1).

W takim razie Q (x) = 4x2 + x + 1 i a = 4, b = 1, c = 1 .  
Odpowiedź: a = 4, b = 1, c = 1

Wersja PDF