/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 2057870

Rozwiąż równanie √2- cos 2x = 2 (cos x+ sin x) w przedziale ⟨ π- π-⟩ − 2,2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Skorzystamy ze wzoru na cosinus różnicy

cos(α − β) = cosα cosβ + sin α sin β

Dane równanie możemy więc zapisać w postaci

√ -- √ -- cos 2x = cos x ⋅--2-+ sinx ⋅ --2- 2 2 π- π- cos 2x = cos x ⋅cos 4 + sin x⋅sin 4 ( π) cos 2x = cos x − 4- .

Szkicujemy cosinusa.

PIC

Z wykresu widać, że

π- ( π-) 2x = x− 4 + 2kπ lub 2x = − x− 4 + 2kπ π π x = − --+ 2kπ lub 3x = --+ 2kπ 4 4 x = − π-+ 2kπ lub x = π--+ 2kπ . 4 12 3

Łatwo teraz sprawdzić, że w przedziale ⟨ π π ⟩ − 2,-2 daje to nam dwa rozwiązania

π π x = − -- lub x = --. 4 12

Sposób II

Skorzystamy ze wzoru

cos 2α = cos2 α− sin 2α.

Przekształcamy dane równanie w sposób równoważny

√ -- 2 2 2 ----(cosx + sin x) = cos 2x = cos x− sin x √2-- --2- 2 (cosx + sin x) = (cos x− sin x)(cos x + sin x).

Jeżeli co sx = − sin x , to oczywiście obie strony muszą być niezerowe i możemy ten warunek zapisać w postaci

co sx = − sin x / : (− cos x) − 1 = tgx .

Szkicujemy tangensa.

PIC

Z wykresu łatwo odczytać, że jedynym rozwiązaniem jest x = − π4- (bo ⟨ ⟩ x ∈ − π2, π2 ).

Jeżeli natomiast cosx ⁄= − sinx , to możemy obie strony równania podzielić przez (co sx + sinx ) i otrzymujemy równanie

√ 2- cos x− sin x = ---. 2

W tym miejscu będzie chcieli skorzystać ze wzoru na sinus różnicy

sin (α− β) = sinα cos β− sin β cos α.

Mamy zatem

√ -- ( √ -) --2- --2- co sx − sinx = 2 / ⋅ − 2 sin xco s π-− sin π- cosx = − 1- 4 4 2 ( π ) 1 sin x − -- = − -. 4 2

Szkicujemy sinusa.

PIC

Odczytując rozwiązanie z wykresu musimy trochę uważać, bo wprawdzie ⟨ ⟩ x ∈ − π2, π2 , ale

⟨ ⟩ x − π- ∈ − 3π-, π . 4 4 4

Mamy zatem

x − π-= − π- 4 6 π- π- 3π--−-2π- -π- x = 4 − 6 = 1 2 = 12 .

Wyjściowe równanie ma więc dwa rozwiązania

{ } x ∈ − π-,-π- 4 1 2

Sposób III

Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że albo π- x = − 4 , albo

√ -- cos x− sin x = --2. 2

Tym razem skorzystamy jednak ze wzoru na różnicę sinusów

α − β α + β sin α − sinβ = 2 sin ------cos ------. 2 2

Mamy zatem

√ 2- (π ) ----= cosx − sin x = sin -- − x − sin x √2-- 2 --2- π2-−-x-−-x- π2 −-x+--x 2 = 2sin 2 co s 2 √ -- ( ) √ -- --2-= 2sin π- − x cos π- / : (− 2) 2 4 4 1 ( π ) ( π ) − 2-= − sin 4-− x = sin x − 4- .

Podobnie jak w poprzednim sposobie, musimy trochę uważać, bo wprawdzie ⟨ π-π-⟩ x ∈ − 2, 2 , ale

⟨ ⟩ π 3π π x − -- ∈ − ---,-- . 4 4 4

Mamy zatem

π- π- x − 4 = − 6 π π 3π − 2π π x = --− -- = --------- = ---. 4 6 1 2 12

Wyjściowe równanie ma więc dwa rozwiązania

{ π- -π-} x ∈ − 4,1 2

 
Odpowiedź: x ∈ { − π,-π} 4 12

Wersja PDF