/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 2489029

Rozwiąż równanie sinx + cosx = 1 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Korzystamy ze wzoru π- sin( 2 − x) = cos x i ze wzoru na sumę sinusów.

sin x + cos x = 1 ( ) sin x + sin π-− x = 1 2 x + π2-− x x− π2-+ x 2 sin ---------- cos ----------= 1 π 2( π ) 2 2 sin -- cos x− -- = 1 √ -- 4( ) 4 2 cos x − π- = 1 4 √ -- ( π ) 2 cos x− -- = ---- π 4π 2 π π x − --= --+ 2kπ ∨ x− --= − --+ 2kπ 4 4 4 4 x = π-+ 2kπ ∨ x = 2kπ . 2

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na cosinus różnicy.

√ -- sin x + cos x = 1 /⋅ --2- √ -- √ -- 2√ -- 2 2 2 ----sin x+ ----cosx = ---- 2 2 2 √ -- π- π- --2- sin 4 sin x + cos 4 cos x = 2 ( π ) √ 2- cos x− -- = ---. 4 2

i jesteśmy w tej samej sytuacji co w poprzednim sposobie.

Sposób III

Podnieśmy podane równanie do kwadratu.

sin 2x + cos2 x+ 2sin xco sx = 1 1 + 2 sinx cosx = 1 2 sinx cos x = 0 sin 2x = 0 2x = kπ ⇒ x = k ⋅ π-. 2

Po drodze podnieśliśmy równanie do kwadratu, więc trzeba sprawdzić otrzymane rozwiązania (bo mogliśmy jakieś dołożyć, jak np. po podniesieniu x = 1 do kwadratu). Sprawdzając, mamy cztery możliwości w zalezności od reszty z dzielnia k przez 4. Łatwo sprawdzić, że rozwiązanie otrzymujemy tylko dla k = 4n i k = 4n + 1 . W pozostałych przypadkach, czyli k = 4n + 2 i k = 4n+ 3 mamy sinx + co sx = − 1 .

Sposób IV

Podobnie jak poprzednio podnosimy równanie do kwadratu i mamy

2sin xco sx = 0 .

Zatem sin x = 0 lub cos x = 0 . Mamy wtedy odpowiednio

1 = sinx + cosx = cosx ⇒ x = 2kπ π 1 = sinx + cosx = sin x ⇒ x = --+ 2kπ . 2

Sposób V

Tym razem zamienimy 1 na cos0 .

sin x + co sx = co s0 sin x = cos0 − cos x sin x = − 2sin 0−--xsin 0-+-x- 2 2 x- x- x- x- 2 sin 2 co s2 = 2sin 2 sin 2 x-( x- x-) sin 2 cos 2 − sin 2 = 0 x x x sin -- = 0 ∨ co s--= sin --. 2 2 2

Z pierwszego równania mamy

x- 2 = kπ ⇒ x = 2kπ .

W drugim możemy założyć, że obie strony są niezerowe (bo taki przypadek właśnie rozważyliśmy) i mamy

sin x-= co s x / : co s x 2 2 2 x- tg 2 = 1 x- π- π- 2 = 4 + kπ ⇒ x = 2 + 2kπ .

Sposób VI

Tym razem skorzystamy ze wzoru na cos2α .

co s2α = 1− 2sin2α ⇒ 1− cos2α = 2sin2 α.

Mamy zatem

sin x = 1 − co sx sin x = 2 sin 2 x 2 2 sin x-cos x-= 2sin2 x. 2 2 2

i jesteśmy w takiej samej sytuacji jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: x = π-+ 2kπ ∨ x = 2kπ 2

Wersja PDF