/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 4132217

Rozwiąż równanie

2 cos x+ cos(3x) = 0

w zbiorze [− π ,π] .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Spróbujemy najpierw zamienić cos 3x na wyrażenie z mniejszymi wielokrotnościami argumentu x . Skorzystamy przy tym ze wzoru

cos(α + β) = cosα cosβ − sin β sin α

na cosinus sumy. Mamy zatem

cos3x = cos2x co sx − sinx sin2x .

i dane równanie przybiera postać

2cos x+ cos2x cos x− sin x sin 2x = 0.

Będziemy chcieli się jeszcze pozbyć funkcji podwojonego argumentu, więc skorzystamy ze wzorów

sin 2x = 2sin xco sx 2 cos2x = 1− 2sin x.

Sposób I

Dane równanie możemy więc przekształcić dalej:

0 = 2 cosx + co s2x cosx − 2 sin 2x cosx = = cos x(2+ cos2x − 2sin2x ) = = cos x(2+ cos2x + (cos2x − 1 )) = = cos x(2co s2x + 1).

W takim razie albo cosx = 0 , czyli w danym przedziale x = ± π- 2 , albo co s2x = − 1 2 . Szkicujemy cosinusa.

PIC

Teraz musimy odrobinę uważać, bo wprawdzie x ∈ [− π,π ] , ale 2x ∈ [− 2 π,2π ] . Mamy więc dodatkowe rozwiązania

{ } { π- π- π- π-} 4-π 2π- 2π- 4π- 2x ∈ − π − 3,− π + 3 ,π − 3,π + 3 = − 3 ,− 3 , 3 , 3 / : 2 { } 2π- π- π- 2π- x ∈ − 3 ,− 3 , 3, 3 .

W sumie dane równanie ma więc 6 rozwiązań

{ 2π π π π π 2π } x ∈ − ---,− --,− --,--,--,--- . 3 3 2 2 3 3

Sposób II

Dane równanie możemy więc przekształcić dalej:

0 = 2co sx + (1 − 2sin2 x)co sx − 2 sin 2x cosx = = cosx (2+ 1− 2sin2x − 2 sin2x ) = ( √ -) ( √ --) = cosx (3− 4sin2x ) = − 4co sx sin x− --3- sin x + --3- . 2 2

Zatem cosx = 0 lub √- sinx = ± -32- . Szkicujemy sinusa.

PIC

Z wykresu odczytujemy rozwiązania

{ π π } { π π π π } { 2π π π π π 2π } x ∈ − --,-- ∪ − π + --,− --,--,π − -- = − ---,− --,− --,--,--,--- . 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3

 
Odpowiedź: x ∈ { − 2π,− π-,− π, π-, π-, 2π} 3 3 2 2 3 3

Wersja PDF