/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 4312060

Rozwiąż równanie sin 2x+ cos2x = 1 + sinx − co sx w przedziale [0,2π ] .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzorów

sin 2α = 2sin αco sα cos2α = 1− 2sin2 α.

Dlaczego wybieramy akurat ten wzór na cos2α ? – żeby skrócić jedynkę z prawej strony równania. Dane równanie możemy zapisać w postaci

sin2x + cos2x = 1+ sin x − cos x 2 2sin xcos x + 1− 2sin x− 1− sin x + cos x = 0 2sin x(cosx − sin x) + (cosx − sin x) = 0 (2sin x+ 1)(cosx − sin x) = 0 sinx = − 1- lub sin x = co sx. 2

Szkicujemy sinusa i cosinusa.


ZINFO-FIGURE


Z wykresów odczytujemy rozwiązania (drugie równanie możemy też łatwo przekształcić do postaci tg x = 1 ).

 { } x ∈ π + π-,2π − π-, π,π + π- { 6 6 }4 4 7π 11π π 5π x ∈ ---,----,--,--- . 6 6 4 4

 
Odpowiedź:  { } x ∈ 7π6-, 11π6-, π4-, 54π

Wersja PDF
spinner