/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 4747138

Rozwiąż równanie √ -- sin(4x) + 3 cos(4x) + 1 = 0 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcimy równanie tak, aby móc skorzystać ze wzoru na sinus sumy

sin (α+ β) = sinα cos β+ sin β cos α.

Przekształcamy

√ -- sin(4x) + 3 cos(4x) = − 1 / : 2 √ -- 1- --3- 1- 2 sin (4x)+ 2 cos(4x) = − 2 π π 1 sin(4x) cos --+ sin --cos(4x ) = − -- ( 3) 3 2 π- 1- sin 4x + 3 = − 2.

Teraz trzeba odrobinę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨0,π⟩ , ale

π- π- ⟨ π- π⟩ 4x + 3 ∈ ⟨0,4π ⟩ + 3 = 3 ,4π + 3 .

Szkicujemy sinusa.

ZINFO-FIGURE

Odczytujemy rozwiązania.

π { π π π π } 4x + -- ∈ π + --,2π − --,3π + --,4π − -- 3 { 6 6 } 6 6 4x = 5-π, 3π-, 17π-, 7π / : 4 6 2 6 2 { } x = 5-π, 3π-, 17π-, 7π . 24 8 24 8

Sposób II

Podnosimy równanie stronami do kwadratu – oczywiście możemy w ten sposób zwiększyć liczbę rozwiązań, więc na koniec będziemy musieli sprawdzić poprawność otrzymanych rozwiązań.

√ -- sin(4x )+ 1 = − 3co s(4x ) / ()2 2 2 sin (4x )+ 2 sin(4x) + 1 = 3 c(os (4x) ) sin2(4x )+ 2 sin(4x) + 1 = 3 1 − sin2(4x ) 4sin2(4x )+ 2sin(4x) − 2 = 0 / : 2 2sin2(4x )+ sin (4x)− 1 = 0.

Podstawiamy t = sin(4x) i mamy

2t2 + t− 1 = 0 Δ = 1 + 8 = 9 − 1 − 3 − 1 + 3 1 t = ---4--- = − 1 ∨ t = ---4--- = 2.

Zatem (pamiętamy, że 4x ∈ ⟨0,4π ⟩ )

{ } 4x ∈ π-,π − π-, 3π-,2π + π,3 π − π-, 7π 6 6 2 6 6 2 { π 5π 3 π 13π 17π 7π } 4x ∈ --,---,---, ----,----,--- / : 4 { 6 6 2 6 6 2 } π 5π 3π 13π 1 7π 7π x ∈ ---,---,---,----,---- ,--- . 24 24 8 24 24 8

To jednak nie koniec, bo musimy teraz sprawdzić otrzymane rozwiązania. Łatwo sprawdzić, że jeżeli { } x ∈ π24, 1324π , to lewa strona wyjściowego równania jest dodatnia. Pozostałe rozwiązania są natomiast OK.  
Odpowiedź: { } x = 5π24, 3π8 , 172π4-, 7π8

Wersja PDF