/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 5138954

Rozwiąż równanie cos x+ cos2x + cos3x = 0 w przedziale [0,2π ] .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru

α + β α− β cosα + co sβ = 2 cos ------cos ------ 2 2

na sumę cosinusów. Przekształcamy dane równanie

3x + x 3x − x 0 = cos 3x + cos x+ cos2x = 2co s-------co s-------+ cos2x = 2( 2) = 2 cos2x cos x+ cos2x = 2co s2x ⋅ cosx + 1- . 2

Mamy zatem cos 2x = 0 lub 1 co sx = − 2 . Szkicujemy cosinusa.

PIC

Najpierw odczytujemy rozwiązania równania c os2x = 0 . Musimy odrobinę uważać, bo wprawdzie x ∈ [0 ,2 π] , ale 2x ∈ [0,4π ] .

{ } 2x ∈ π-, 3π-, 5π-, 7-π / : 2 2 2 2 2 { } x ∈ π-, 3π-, 5π-, 7-π . 4 4 4 4

Następnie odczytujemy rozwiązania równania cos x = − 12 :

{ } { } x ∈ π − π-,π + π- = 2π-, 4π- . 3 3 3 3

Wyjściowe równanie ma więc 6 rozwiązań w przedziale [0,2π ] .

{ } π- 2π- 3-π 5π- 4π- 7π- x ∈ 4 , 3 , 4 , 4 , 3 , 4 .

 
Odpowiedź: { } π- 2π-3π- 5π-4π- 7π- x ∈ 4 ,3 , 4 ,4 , 3 ,4

Wersja PDF