/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 5715435

Rozwiąż równanie √ -- cos(3x )+ 3sin(3x) + 1 = 0 w przedziale ⟨0,π ⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcimy równanie tak, aby móc skorzystać ze wzoru na cosinus różnicy

co s(α− β) = cos αco sβ + sin βsin α.

Przekształcamy

√ -- cos(3x )+ 3 sin(3x) = − 1 / : 2 √ -- 1-cos(3x) + --3-sin(3x) = − 1- 2 2 2 π- π- 1- cos(3x )cos 3 + sin 3 sin(3x ) = − 2 ( π ) 1 cos 3x − -- = − -. 3 2

Teraz trzeba odrobinę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨0,π ⟩ , ale

π- π- ⟨ π- π⟩ 3x − 3 ∈ ⟨0,3 π⟩ − 3 = − 3 ,3π − 3 .

Szkicujemy cosinusa.

PIC

Odczytujemy rozwiązania.

{ } 3x − π- ∈ π − π-,π + π-,3π − π- 3 { 3 } 3 3 5π- 3x = π , 3 ,3π / : 3 { } x = π-, 5-π,π . 3 9

Sposób II

Podnosimy równanie stronami do kwadratu – oczywiście możemy w ten sposób zwiększyć liczbę rozwiązań, więc na koniec będziemy musieli sprawdzić poprawność otrzymanych rozwiązań.

√ -- 2 cos(3x )+ 1 = − 3sin(3x) /() cos2(3x )+ 2 cos(3x) + 1 = 3sin2(3x) ( ) cos2(3x )+ 2 cos(3x) + 1 = 3 1 − co s2(3x) 4cos2(3x )+ 2 cos(3x )− 2 = 0 / : 2 2 2cos (3x )+ co s(3x)− 1 = 0.

Podstawiamy t = co s(3x ) i mamy

2 2t + t− 1 = 0 Δ = 1 + 8 = 9 − 1 − 3 − 1 + 3 1 t = ------- = − 1 ∨ t = ------- = -. 4 4 2

Zatem (pamiętamy, że 3x ∈ ⟨0,3π ⟩ )

{ π- π- π-} 3x ∈ π,3π , 3,2π − 3 ,2π + 3 { } 3x ∈ π ,3π, π-, 5π-, 7π / : 3 3 3 3 { π π 5π 7π } x ∈ --,π, --,---,--- . 3 9 9 9

To jednak nie koniec, bo musimy teraz sprawdzić otrzymane rozwiązania. Łatwo sprawdzić, że jeżeli { } x ∈ π9, 7π9 , to lewa strona wyjściowego równania jest dodatnia. Pozostałe rozwiązania są natomiast OK.  
Odpowiedź: x = {π-, 5π,π } 3 9

Wersja PDF