/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 5862153

Rozwiąż równanie sinx + sin 2x + sin3x = 0 w przedziale ⟨0,π⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru

 α + β α − β sinα + sin β = 2 sin ------co s------ 2 2

na sumę sinusów.

Sposób I

Przekształcamy dane równanie

 3x-+-x- 3x-−-x- 0 = sin 3x + sin x+ sin 2x = 2sin 2 cos 2 + sin 2x = ( 1) = 2sin 2xco sx + sin2x = 2 sin 2x ⋅ cosx + -- . 2

Mamy zatem sin2x = 0 lub cos x = − 1 2 . Szkicujemy sinusa i cosinusa.


PIC

Najpierw odczytujemy rozwiązania równania sin 2x = 0 :

2x ∈ {0,π ,2π } / : 2 { } x ∈ 0, π-,π . 2

Następnie odczytujemy rozwiązania równania  1 cos x = − 2 :

 π 2 π x = π − -- = ---. 3 3

Wyjściowe równanie ma więc 4 rozwiązania w przedziale ⟨0,π ⟩ .

 { π 2 π } x ∈ 0,--,---,π . 2 3

Sposób II

Tak jak poprzednio korzystamy ze wzoru na sumę sinusów, ze wzoru na sin2 α oraz z parzystości cosinusa.

0 = sin x + sin2x + sin 3x x-+-2x- x−--2x- 3x- 3x- 0 = 2sin 2 cos 2 + 2 sin 2 co s 2 / : 2 3x ( x 3x ) 0 = sin --- cos --+ cos --- . 2 2 2

Jeżeli  3x sin 2 = 0 to mamy

 { } 3x 2π ---∈ { 0,π} ⇒ x ∈ 0, --- . 2 3

Teraz zajmujemy się wyrażeniem w nawiasie.

 3x x cos ---+ c os--= 0. 2 2

Na mocy wzoru

 α-+-β- α−--β- cosα + co sβ = 2 cos 2 cos 2

na sumę cosinusów możemy ten warunek zapisać w postaci

 3x + x 3x − x x 0 = 2cos -2---2-cos -2---2-= 2co sx cos--. 2 2 2

Mam zatem dodatkowo w danym przedziale

 π- co sx = 0 ⇐ ⇒ x = 2 x x π cos --= 0 ⇐ ⇒ --= -- ⇐ ⇒ x = π. 2 2 2

Wyjściowe równanie ma więc 4 rozwiązania w przedziale ⟨0,π ⟩ .

 { } π 2 π x ∈ 0,--,---,π . 2 3

 
Odpowiedź:  { π 2π } x ∈ 0,2, 3-,π

Wersja PDF
spinner