Zadanie nr 5862153
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Rozwiązanie
Będziemy korzystać ze wzoru
![α + β α − β sinα + sin β = 2 sin ------co s------ 2 2](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR0x.gif)
na sumę sinusów.
Sposób I
Przekształcamy dane równanie
![3x-+-x- 3x-−-x- 0 = sin 3x + sin x+ sin 2x = 2sin 2 cos 2 + sin 2x = ( 1) = 2sin 2xco sx + sin2x = 2 sin 2x ⋅ cosx + -- . 2](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR1x.gif)
Mamy zatem lub
. Szkicujemy sinusa i cosinusa.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR4x.gif)
Najpierw odczytujemy rozwiązania równania :
![2x ∈ {0,π ,2π } / : 2 { } x ∈ 0, π-,π . 2](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR6x.gif)
Następnie odczytujemy rozwiązania równania :
![π 2 π x = π − -- = ---. 3 3](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR8x.gif)
Wyjściowe równanie ma więc 4 rozwiązania w przedziale .
![{ π 2 π } x ∈ 0,--,---,π . 2 3](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR10x.gif)
Sposób II
Tak jak poprzednio korzystamy ze wzoru na sumę sinusów, ze wzoru na oraz z parzystości cosinusa.
![0 = sin x + sin2x + sin 3x x-+-2x- x−--2x- 3x- 3x- 0 = 2sin 2 cos 2 + 2 sin 2 co s 2 / : 2 3x ( x 3x ) 0 = sin --- cos --+ cos --- . 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR12x.gif)
Jeżeli to mamy
![{ } 3x 2π ---∈ { 0,π} ⇒ x ∈ 0, --- . 2 3](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR14x.gif)
Teraz zajmujemy się wyrażeniem w nawiasie.
![3x x cos ---+ c os--= 0. 2 2](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR15x.gif)
Na mocy wzoru
![α-+-β- α−--β- cosα + co sβ = 2 cos 2 cos 2](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR16x.gif)
na sumę cosinusów możemy ten warunek zapisać w postaci
![3x + x 3x − x x 0 = 2cos -2---2-cos -2---2-= 2co sx cos--. 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR17x.gif)
Mam zatem dodatkowo w danym przedziale
![π- co sx = 0 ⇐ ⇒ x = 2 x x π cos --= 0 ⇐ ⇒ --= -- ⇐ ⇒ x = π. 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR18x.gif)
Wyjściowe równanie ma więc 4 rozwiązania w przedziale .
![{ } π 2 π x ∈ 0,--,---,π . 2 3](https://img.zadania.info/zad/5862153/HzadR20x.gif)
Odpowiedź: