/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 6077420

Rozwiąż równanie

sin (3x) = 2 sin x

w zbiorze [0,π ] .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Spróbujemy najpierw zamienić sin3x na wyrażenie z mniejszymi wielokrotnościami argumentu x . Skorzystamy przy tym ze wzoru

sin (α + β) = sin αco sβ + sinβ cos α

na sinus sumy. Mamy zatem

2sinx = sin3x = sin (x + 2x) 2sinx = sinx cos 2x+ sin 2x cosx .

Będziemy chcieli się jeszcze pozbyć funkcji podwojonego argumentu, więc skorzystamy ze wzorów

sin 2x = 2sin xcos x co s2x = 2cos2 x− 1.

Sposób I

Dane równanie możemy więc przekształcić dalej:

2 0 = sin xco s2x + 2 sin x cos x − 2 sin x = = sin x(cos 2x+ 2co s2 x − 2) = = sin x(cos 2x+ (cos2x + 1)− 2 ) = = sin x(2co s2x − 1).

W takim razie albo sin x = 0 , czyli w danym przedziale x = 0 lub x = π , albo cos2x = 1 2 . Szkicujemy cosinusa.

PIC

Teraz musimy odrobinę uważać, bo wprawdzie x ∈ [0,π ] , ale 2x ∈ [0,2π ] . Mamy więc dodatkowe rozwiązania

{π π } { π 5π } 2x ∈ --,2π − -- = --,--- / : 2 { 3 } 3 3 3 π- 5π- x ∈ 6, 6 .

W sumie dane równanie ma więc 5 rozwiązań

{ } π 5 π x ∈ 0,--,---,π . 6 6

Sposób II

Dane równanie możemy więc przekształcić dalej:

2 2 0 = sin x(2 cos x − 1 )+ 2 sin x cos x − 2 sinx = = sin x(2 cos2x − 1 + 2 cos2x − 2 ) = ( √ -) ( √ --) 2 3 3 = sin x(4 cos x − 3 ) = 4sin x cos x− ---- co sx + ---- . 2 2

Zatem sin x = 0 lub √ - cos x = ± --3 2 . Stąd

{ } { π π } π 5π x ∈ 0,6-,π − -6,π = 0 ,6-,-6-,π .

 
Odpowiedź: { π- 5π- } x ∈ 0,6, 6 ,π

Wersja PDF