Zadanie nr 6421543
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Rozwiązanie
Sposób I
Skorzystamy ze wzoru na cosinus sumy
![cos(α + β) = cosα cosβ − sin α sin β](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR0x.gif)
Dane równanie możemy więc zapisać w postaci
![√ -- √ -- co s2x = --2co sx − --2-sin x 2 2 π- π- co s2x = co s 4 cosx − sin 4 sinx ( π ) co s2x = co s x + 4- .](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR1x.gif)
Szkicujemy cosinusa.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR2x.gif)
Z wykresu widać, że
![π- ( π-) 2x = x+ 4 + 2kπ lub 2x = − x+ 4 + 2kπ π π x = --+ 2kπ lub 3x = − --+ 2kπ 4 4 x = π-+ 2kπ lub x = − π--+ 2-kπ . 4 12 3](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR3x.gif)
Łatwo teraz sprawdzić, że w przedziale daje to nam dwa rozwiązania
![π π 2 7 x = -- lub x = − ---+ -π = ---π. 4 12 3 12](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR5x.gif)
Sposób II
Skorzystamy ze wzoru
![cos 2α = cos2 α− sin 2α.](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR6x.gif)
Przekształcamy dane równanie w sposób równoważny
![√ -- 2 2 2 ----(cosx − sin x) = cos 2x = cos x− sin x √2-- --2- 2 (cosx − sin x) = (cos x− sin x)(cos x + sin x).](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR7x.gif)
Jeżeli , to oczywiście obie strony muszą być niezerowe i możemy ten warunek zapisać w postaci
![cosx = sin x / : cosx 1 = tg x.](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR9x.gif)
Szkicujemy tangensa.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR10x.gif)
Z wykresu łatwo odczytać, że jedynym rozwiązaniem jest (bo
).
Jeżeli natomiast , to możemy obie strony równania podzielić przez
i otrzymujemy równanie
![√ -- 2 cos x+ sin x = ---. 2](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR15x.gif)
W tym miejscu będzie chcieli skorzystać ze wzoru na sinus sumy
![sin (α+ β) = sinα cos β+ sin β cos α.](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR16x.gif)
Mamy zatem
![√ -- √ -- cosx + sin x = --2- / ⋅--2- 2 2 π- π- 1- sin 4 c osx + sin xcos 4 = 2 ( π ) 1 sin --+ x = --. 4 2](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR17x.gif)
Szkicujemy sinusa.
Odczytując rozwiązanie z wykresu musimy trochę uważać, bo wprawdzie , ale
![π ⟨π π ⟩ --+ x ∈ --,π + -- . 4 4 4](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR20x.gif)
Mamy zatem
![π π 5 π -- + x = π − -- = --- 4 6 6 x = 5π-− π-= 10π-−--3π-= 7π-. 6 4 12 1 2](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR21x.gif)
Wyjściowe równanie ma więc dwa rozwiązania
![{ } x ∈ π-, 7π 4 1 2](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR22x.gif)
Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że albo , albo
![√ -- cos x+ sin x = --2. 2](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR24x.gif)
Tym razem skorzystamy jednak ze wzoru na sumę sinusów
![α + β α − β sin α + sinβ = 2 sin ------cos ------. 2 2](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR25x.gif)
Mamy zatem
![√ 2- (π ) ----= cosx + sin x = sin -- − x + sin x √2-- 2 --2- π2-−-x-+-x- π2 −-x−--x 2 = 2sin 2 co s 2 √ -- ( ) √ -- --2-= 2sin π-cos π- − x / : 2 2 4 4 1 ( π ) ( π ) 2-= cos 4-− x = cos x− 4- .](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR26x.gif)
Podobnie jak w poprzednim sposobie, musimy trochę uważać, bo wprawdzie , ale
![⟨ ⟩ π- π- π- x− 4 ∈ − 4,π − 4 .](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR28x.gif)
Mamy zatem
![π- π- x − 4 = 3 π π 7π x = --+ --= ---. 3 4 12](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR29x.gif)
Wyjściowe równanie ma więc dwa rozwiązania
![{ π 7π } x ∈ --,--- 4 1 2](https://img.zadania.info/zad/6421543/HzadR30x.gif)
Odpowiedź: