Zadanie nr 6757421
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Rozwiązanie
Sposób I
Przekształcimy równanie tak, aby móc skorzystać ze wzoru na cosinus sumy
![co s(α+ β) = cos αco sβ − sin βsin α.](https://img.zadania.info/zad/6757421/HzadR0x.gif)
Przekształcamy
![√ -- 3 cosx = 1+ sin x / : 2 √ -- ---3co sx − 1-sinx = 1- 2 2 2 π- π- 1- cos 6 cosx − sin xsin 6 = 2 ( π ) 1 cos x+ -- = -. 6 2](https://img.zadania.info/zad/6757421/HzadR1x.gif)
Teraz trzeba odrobinę uważać, bo wprawdzie , ale
. Szkicujemy cosinusa.
![PIC](https://img.zadania.info/zad/6757421/HzadR4x.gif)
Odczytujemy rozwiązania.
![x + π- = π- ∨ x+ π- = 2π − π- 6 3 6 3 2π π 12π 2π π x = -6-− 6- ∨ x = -6--− -6-− 6- x = π- ∨ x = 9π-= 3π-. 6 6 2](https://img.zadania.info/zad/6757421/HzadR5x.gif)
Sposób II
Podnosimy równanie stronami do kwadratu – oczywiście możemy w ten sposób zwiększyć liczbę rozwiązań, więc na koniec będziemy musieli sprawdzić poprawność otrzymanych rozwiązań.
![3co s2x = 1 + 2 sin x + sin2 x 2 2 3(1 − sin x) = 1+ 2sinx + sin x 0 = 4 sin 2x + 2 sin x − 2 / : 2 2 0 = 2 sin x + sinx − 1 .](https://img.zadania.info/zad/6757421/HzadR6x.gif)
Podstawiamy i mamy
![2t2 + t− 1 = 0 Δ = 1 + 8 = 9 t = −-1-−-3 = − 1 ∨ t = −-1-+-3 = 1. 4 4 2](https://img.zadania.info/zad/6757421/HzadR8x.gif)
Zatem
![1 sinx = − 1 ∨ sinx = -- 2 x = 3π- ∨ x = π- ∨ x = 5π-. 2 6 6](https://img.zadania.info/zad/6757421/HzadR9x.gif)
To jednak nie koniec, bo musimy teraz sprawdzić otrzymane rozwiązania. Łatwo sprawdzić, że dwa pierwsze rozwiązania są OK, ale dla lewa strona równania jest ujemna, a prawa dodatnia.
Odpowiedź: lub