Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6757421

Rozwiąż równanie √ -- 3co sx = 1 + sin x w przedziale ⟨0,2 π⟩ .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcimy równanie tak, aby móc skorzystać ze wzoru na cosinus sumy

co s(α+ β) = cos αco sβ − sin βsin α.

Przekształcamy

√ 3-cosx = 1+ sin x / : 2 √ -- ---3 1- 1- 2 co sx − 2 sinx = 2 π π 1 cos-- cosx − sin xsin -- = -- (6 ) 6 2 π- 1- cos x+ 6 = 2.

Teraz trzeba odrobinę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨0,2π ⟩ , ale x + π-∈ ⟨π,2 π + π-⟩ 6 6 6 . Szkicujemy cosinusa.


PIC

Odczytujemy rozwiązania.

 π π π π x + -6 = 3- ∨ x+ 6- = 2π − 3- x = 2π-− π- ∨ x = 12π-− 2π-− π- 6 6 6 6 6 π- 9π- 3π- x = 6 ∨ x = 6 = 2 .

Sposób II

Podnosimy równanie stronami do kwadratu – oczywiście możemy w ten sposób zwiększyć liczbę rozwiązań, więc na koniec będziemy musieli sprawdzić poprawność otrzymanych rozwiązań.

3co s2x = 1 + 2 sin x + sin2 x 2 2 3(1 − sin x) = 1+ 2sinx + sin x 0 = 4 sin 2x + 2 sin x − 2 / : 2 0 = 2 sin 2x + sinx − 1 .

Podstawiamy t = sin x i mamy

 2 2t + t− 1 = 0 Δ = 1 + 8 = 9 − 1 − 3 − 1 + 3 1 t = ------- = − 1 ∨ t = ------- = -. 4 4 2

Zatem

 1 sinx = − 1 ∨ sinx = -- 2 x = 3π- ∨ x = π- ∨ x = 5π-. 2 6 6

To jednak nie koniec, bo musimy teraz sprawdzić otrzymane rozwiązania. Łatwo sprawdzić, że dwa pierwsze rozwiązania są OK, ale dla x = 56π- lewa strona równania jest ujemna, a prawa dodatnia.  
Odpowiedź: x = π- 6 lub x = 3π- 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!