/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 6866231

Rozwiąż równanie sin6x − 1 = cos 3x− 2sin 3x w przedziale ⟨0 ,π⟩ .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Będziemy korzystać ze wzoru

sin 2α = 2 sinα cos α.

Dane równanie możemy zapisać w postaci

cos 3x− 2sin 3x = sin 6x− 1 = 2 sin 3x cos3x − 1 0 = 2 sin 3x cos3x − co s3x + 2 sin 3x − 1 = = cos3x (2sin 3x − 1)+ (2sin 3x − 1) = (cos 3x + 1)(2 sin 3x − 1) cos 3x = − 1 lub sin 3x = 1. 2

Szkicujemy sinusa i cosinusa i odczytujemy rozwiązanie.

PIC

Trzeba przy tym trochę uważać, bo wprawdzie x ∈ ⟨0,π⟩ , ale 3x ∈ ⟨0,3π⟩ .

{ } 3x ∈ {π ,3π} lub 3x ∈ π-,π − π-,2 π + π-,3π − π- { 6 6 6} 6 π- 5-π 13π- 17π- 3x ∈ {π ,3π} lub 3x ∈ 6, 6 , 6 , 6 / : 3 { } x ∈ π-, 5-π , π-, 13π-, 17π-,π . 18 18 3 18 18

 
Odpowiedź: { } x ∈ π-, 5π-, π, 13π , 17π,π 18 18 3 18 18

Wersja PDF