Zadanie nr 7701377
Rozwiąż równanie w przedziale
.
Rozwiązanie
Sposób I
Korzystamy ze wzoru
![α − β α + β sinα − sin β = 2 sin ------co s------ 2 2](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR0x.gif)
na różnicę sinusów oraz ze wzoru
![sin 2α = 2sin αco sα](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR1x.gif)
na . Dane równanie możemy więc zapisać w postaci
![sin 2x = sin 3x− sin x sin 2x = 2 sin 3x-−--xco s 3x-+-x 2 2 2sin xco sx = 2sinx cos 2x](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR3x.gif)
Jeżeli , to w danym przedziale
![x ∈ {0,π ,2π }.](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR5x.gif)
Jeżeli natomiast , to możemy równanie podzielić stronami przez
i mamy
![co sx = co s2x 2x-+-x- 2x−--x- 3x- x- 0 = cos 2x − cos x = − 2sin 2 sin 2 = − 2 sin 2 sin 2 .](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR8x.gif)
Jeżeli , to automatycznie
(ze wzoru na
), więc w tym przypadku nie otrzymamy żadnych nowych rozwiązań. Jeżeli natomiast
, to
![{ } 3x-∈ {0,π ,2π,3π } ⇐ ⇒ x ∈ 0, 2π-, 4π-,2π . 2 3 3](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR13x.gif)
W sumie dane równanie ma więc 5 rozwiązań:
![{ } x ∈ 0, 2-π,π , 4π-,2π 3 3](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR14x.gif)
Sposób II
Korzystamy ze wzorów na sumę sinusów i na .
![sin 2x + sinx = sin 3x 2 sin 2x-+-x-co s 2x-−-x-= sin3x 2 2 3x x 3x 3x 2 sin ---co s--= 2sin ---cos --- 2 ( 2 2 ) 2 2 sin 3x- cos x-− cos 3x- = 0. 2 2 2](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR16x.gif)
Jeżeli to mamy
![3x-= kπ ⇒ x = 2k-π , 2 3](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR18x.gif)
co danym przedziale prowadzi do rozwiązań
![{ } 0, 2π-, 4π-,2π 3 3](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR19x.gif)
Teraz zajmujemy się wyrażeniem w nawiasie.
![cos x-− cos 3x-= 0 2 2 x + 3x- x − 3x − 2 sin 2----2-sin 2----2-= 0 ( 2 ) 2 sin x sin − x- = 0. 2](https://img.zadania.info/zad/7701377/HzadR20x.gif)
Powinno być jasne, że wystarczy zająć się warunkiem , bo warunek
i tak implikuje
(np. ze wzoru na
). Zatem
, czyli w danym przedziale otrzymujemy jedno dodatkowe rozwiązanie:
.
Odpowiedź: