Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7701377

Rozwiąż równanie sinx + sin 2x = sin 3x w przedziale ⟨0,2π⟩ .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów na sumę sinusów i na sin 2α .

 sin 2x + sinx = sin 3x 2x-+-x- 2x-−-x- 2 sin 2 co s 2 = sin3x 3x x 3x 3x 2 sin ---co s--= 2sin ---cos --- 2 ( 2 2 ) 2 2 sin 3x- cos x-− cos 3x- = 0. 2 2 2

Jeżeli sin 3x= 0 2 to mamy

3x-= kπ ⇒ x = 2k-π , 2 3

co danym przedziale prowadzi do rozwiązań

{ } 0, 2π-, 4π-,2π 3 3

Teraz zajmujemy się wyrażeniem w nawiasie.

 x 3x cos--− cos ---= 0 2 x 23x x 3x 2-+--2- 2-−--2- − 2 sin 2 sin 2 = 0 ( x ) sin x sin − -2 = 0.

Powinno być jasne, że wystarczy zająć się warunkiem sin x = 0 , bo warunek  x sin 2 = 0 i tak implikuje sinx = 0 (np. ze wzoru na sin 2α ). Zatem x = kπ , czyli w danym przedziale otrzymujemy jedno dodatkowe rozwiązanie: x = π .  
Odpowiedź: { } 0, 2π-,π, 4π-,2π 3 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!