Zadanie nr 8582082
Rozwiąż równanie w przedziale
Rozwiązanie
Korzystamy ze wzorów
![sin 2α = 2 sin α cosα co s(α+ β) = cos αco sβ − sin αsin β.](https://img.zadania.info/zad/8582082/HzadR0x.png)
Dane równanie możemy więc zapisać w postaci
![3sin 2x = 2 cos3x 6sinx cos x = 2 cos(2x + x) = 2 cos 2xco sx − 2 sin x sin 2x 6sinx cos x = 2 cos2x cos x− 4sin xsin xcos x.](https://img.zadania.info/zad/8582082/HzadR1x.png)
Każdy składnik zawiera , więc jedyne miejsce zerowe cosinusa w podanym przedziale
![x = π-+ 2023π = 40-47π- 2 2](https://img.zadania.info/zad/8582082/HzadR3x.png)
spełnia dane równanie. Jeżeli natomiast , to możemy podzielić równanie stronami przez
. Otrzymujemy wtedy
![3 sinx = cos2x − 2 sin2x](https://img.zadania.info/zad/8582082/HzadR6x.png)
Widać teraz, że jeżeli skorzystamy ze wzoru
![2 cos2α = 1− 2sin α,](https://img.zadania.info/zad/8582082/HzadR7x.png)
to możemy równanie sprowadzić do postaci, w której będzie występował tylko .
![3 sinx = (1− 2sin2 x)− 2sin2x = 1− 4sin2 x.](https://img.zadania.info/zad/8582082/HzadR9x.png)
Podstawiamy teraz
![4t2 + 3t− 1 = 0 Δ = 9+ 16 = 25 − 3 − 5 −3 + 5 1 t = ---8--- = − 1 lub t = --8----= 4-.](https://img.zadania.info/zad/8582082/HzadR11x.png)
Zauważmy teraz, że wartości sinusa w przedziale są takie same jak w przedziale
![[π ,2π] = [2023 π − 2022 π,202 4π − 202 2π],](https://img.zadania.info/zad/8582082/HzadR13x.png)
więc są niedodatnie. To oznacza, że równanie jest sprzeczne (w danym przedziale) i pozostaje nam równanie
. To równanie ma w przedziale
tylko jedno rozwiązanie:
![x = 2 024π − π-= 4047-π. 2 2](https://img.zadania.info/zad/8582082/HzadR17x.png)
Odpowiedź: