/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 8582082

Rozwiąż równanie 2co s3x = 3 sin2x w przedziale [2023π ,2024 π]

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzorów

 sin 2α = 2 sin α cosα co s(α+ β) = cos αco sβ − sin αsin β.

Dane równanie możemy więc zapisać w postaci

 3sin 2x = 2 cos3x 6sinx cos x = 2 cos(2x + x) = 2 cos 2xco sx − 2 sin x sin 2x 6sinx cos x = 2 cos2x cos x− 4sin xsin xcos x.

Każdy składnik zawiera cos x , więc jedyne miejsce zerowe cosinusa w podanym przedziale

x = π-+ 2023π = 40-47π- 2 2

spełnia dane równanie. Jeżeli natomiast cosx ⁄= 0 , to możemy podzielić równanie stronami przez 2 cosx . Otrzymujemy wtedy

3 sinx = cos2x − 2 sin2x

Widać teraz, że jeżeli skorzystamy ze wzoru

 2 cos2α = 1− 2sin α,

to możemy równanie sprowadzić do postaci, w której będzie występował tylko sin x .

3 sinx = (1− 2sin2 x)− 2sin2x = 1− 4sin2 x.

Podstawiamy teraz t = sin x

4t2 + 3t− 1 = 0 Δ = 9+ 16 = 25 − 3 − 5 −3 + 5 1 t = ---8--- = − 1 lub t = --8----= 4-.

Zauważmy teraz, że wartości sinusa w przedziale [2 023π ,2024π ] są takie same jak w przedziale

[π ,2π] = [2023 π − 2022 π,202 4π − 202 2π],

więc są niedodatnie. To oznacza, że równanie  1 sin x = 4 jest sprzeczne (w danym przedziale) i pozostaje nam równanie sin x = −1 . To równanie ma w przedziale [202 3π,20 24π ] tylko jedno rozwiązanie:

x = 2 024π − π-= 4047-π. 2 2

 
Odpowiedź: x = 40472π-

Wersja PDF
spinner