Zadanie nr 8727615

Rozwiąż równanie -1-- --1-- sinx = sin 4x w przedziale ⟨− π ,π⟩ .

Rozwiązanie

Na początku zauważmy, że mianowniki muszą być niezerowe, czyli x ⁄= kπ i 4x ⁄= kπ . Po uwzględnieniu podanej dziedziny daje to nam x ⁄∈ { ± π,± 3π4-,± π2,± π4,0} .

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na różnicę sinusów

sin 4x = sin x 4x − x 4x + x 3 5 0 = sin 4x − sinx = 2sin -------cos -------= 2sin -x cos -x. 2 2 2 2

Zatem

sin 3x = 0 ∨ cos 5x = 0 2 2 3- 5- π- 2x = kπ ∨ 2x = 2 + kπ 2 π 2k π x = -kπ ∨ x = -- + ----. 3 5 5

Uwzględniając ograniczenie x ∈ ⟨− π ,π⟩ oraz dziedzinę równania daje to nam rozwiązania

{ } ± 2π-,± 3π-,± π-. 3 5 5

Sposób II

Korzystamy z następującej równoważności

sin x = sin y ⇐ ⇒ (x = y + 2k π ∨ x = π − y+ 2kπ ).

Korzystając z powyższego warunku mamy

sinx = sin 4x x = 4x + 2k π ∨ x = π − 4x + 2k π − 3x = 2kπ ∨ 5x = π − 2kπ 2kπ π − 2kπ x = − ---- ∨ x = ---------. 3 5

Podobnie jak w poprzednim sposobie, po uwzględnieniu warunku x ∈ ⟨− π ,π ⟩ oraz dziedziny otrzymujemy rozwiązania

{ 2π 3π π } ± ---,± ---,± --. 3 5 5

Sposób III

Przekształcimy podane równanie korzystając ze wzoru sin 2x = 2 sinx cosx .

sin 4x = sin x 2 sin 2x cos2x = sinx 4 sin x cosx cos2x = sinx / : sin x 4 cosx cos2x = 1.

Teraz skorzystamy ze wzoru cos2x = 2co s2x − 1 , co sprawi, że w równaniu będzie występował tylko cosx (w różnych potęgach) i będziemy mogli podstawić cosx = t .

4 cosx(2 cos2x − 1) = 1 3 8t − 4t = 1 8t3 − 4t− 1 = 0.

Aby rozwiązać to równanie wielomianowe szukamy jego pierwiastków wymiernych w postaci p q , gdzie dzieli -1, a dzieli 8. Łatwo zauważyć, że t = − 1 2 jest takim pierwiastkiem. Dzielimy teraz wielomian przez dwumian 1 t + 2 , albo jeszcze lepiej (żeby nie mieć ułamków) przez 2t + 1 . My zrobimy to grupując wyrazy.

3 3 2 2 8t − 4t − 1 = 8t + 4t − 4t − 2t− 2t − 1 = = 4t2(2t+ 1)− 2t(2t + 1) − (2t + 1) = (2t + 1)(4t2 − 2t− 1 ).

Szukamy teraz miejsc zerowych otrzymanego trójmianu.

Δ = 2 0 √ -- √ -- √ -- √ -- t = 2−--2--5-= 1−----5, t = 2-+-2---5 = 1-+---5-. 1 8 4 2 8 4

Zatem co sx = − 12 , 1− √5 co sx = -4--- lub 1+√ 5 co sx = --4-- . Pierwszy z tych warunków daje x = ± 2π- 3 , szkicując sobie wykres cosinusa na przedziale ⟨− π ,π⟩ , widać, że każdy z dwóch pozostałych warunków również daje dwa kąty (można je odczytać z tablic - tak się składa, że są to dokładnie kąty 3π ± -5- i π ± 5- , ale patrząc tylko na tablice nie możemy być tego pewni).