/Szkoła średnia/Równania/Trygonometryczne/Stopnia 1

Zadanie nr 8966547

Rozwiąż równanie

sin x x ----- = sin -. 3 3
Wersja PDF

Rozwiązanie

Po dwóch stronach równania mamy sinusy obliczane z dwóch różnych argumentów. Spróbujemy na początku sprowadzić sytuację do takiej, w której argumenty po obu stronach będą takie same. W tym celu rozpiszemy

( x ) sin x = sin 3 ⋅-- 3

ze wzoru

sin (α + β) = sin αco sβ + sinβ cos α

na sinus sumy. Mamy zatem

( ) sinx = sin x-+ 2x- = sin x-cos 2x-+ sin 2x-cos x 3 3 3 3 3 3

i dane równanie przybiera postać

3 sin x-= sin x-cos 2x-+ sin 2x-cos x-. 3 3 3 3 3

Będziemy chcieli się jeszcze pozbyć funkcji podwojonego argumentu, więc skorzystamy ze wzorów

sin 2x = 2sin xcos x co s2x = 2cos2 x− 1.

Sposób I

Dane równanie możemy więc przekształcić dalej:

0 = sin x-cos 2x-+ 2 sin x-co s2 x-− 3 sin x = 3 ( 3 3 3 ) 3 x- 2x- 2 x = sin 3 cos 3 + 2 cos 3 − 3 = ( ( ) ) ( ) = sin x- cos 2x-+ cos 2x-+ 1 − 3 = sin x- 2 cos 2x-− 2 . 3 3 3 3 3

W takim razie albo x sin 3 = 0 , czyli x = 3kπ , albo 2x co s 3 = 1 , czyli

2x ---= 2k π ⇐ ⇒ x = 3kπ . 3

Sposób II

Dane równanie możemy więc przekształcić dalej:

( ) 0 = sin x- 2 cos2 x-− 1 + 2 sin x-cos2 x-− 3 sin x-= 3 ( 3 3 ) 3 3 x- 2 x 2 x- = sin 3 2 cos 3 − 1+ 2cos 3 − 3 = x-( 2 x ) x( x- ) ( x- ) = sin 3 4 cos 3 − 4 = 4 sin 3 cos 3 − 1 co s3 + 1 .

Ponieważ warunek x sin 3 = 0 jest równoważny temu, że 2 x co s 3 = 1 , mamy stąd

x = 3kπ , k ∈ Z

 
Odpowiedź: x = 3kπ , k ∈ Z

Wersja PDF