Zadanie nr 8966547
Rozwiąż równanie
![sin x x ----- = sin -. 3 3](https://img.zadania.info/zad/8966547/HzadT0x.gif)
Rozwiązanie
Po dwóch stronach równania mamy sinusy obliczane z dwóch różnych argumentów. Spróbujemy na początku sprowadzić sytuację do takiej, w której argumenty po obu stronach będą takie same. W tym celu rozpiszemy
![( x ) sin x = sin 3 ⋅-- 3](https://img.zadania.info/zad/8966547/HzadR0x.gif)
ze wzoru
![sin (α + β) = sin αco sβ + sinβ cos α](https://img.zadania.info/zad/8966547/HzadR1x.gif)
na sinus sumy. Mamy zatem
![( ) sinx = sin x-+ 2x- = sin x-cos 2x-+ sin 2x-cos x 3 3 3 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/8966547/HzadR2x.gif)
i dane równanie przybiera postać
![3 sin x-= sin x-cos 2x-+ sin 2x-cos x-. 3 3 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/8966547/HzadR3x.gif)
Będziemy chcieli się jeszcze pozbyć funkcji podwojonego argumentu, więc skorzystamy ze wzorów
![sin 2x = 2sin xcos x co s2x = 2cos2 x− 1.](https://img.zadania.info/zad/8966547/HzadR4x.gif)
Sposób I
Dane równanie możemy więc przekształcić dalej:
![0 = sin x-cos 2x-+ 2 sin x-co s2 x-− 3 sin x = 3 ( 3 3 3 ) 3 x- 2x- 2 x = sin 3 cos 3 + 2 cos 3 − 3 = ( ( ) ) ( ) = sin x- cos 2x-+ cos 2x-+ 1 − 3 = sin x- 2 cos 2x-− 2 . 3 3 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/8966547/HzadR5x.gif)
W takim razie albo , czyli
, albo
, czyli
![2x ---= 2k π ⇐ ⇒ x = 3kπ . 3](https://img.zadania.info/zad/8966547/HzadR9x.gif)
Sposób II
Dane równanie możemy więc przekształcić dalej:
![( ) 0 = sin x- 2 cos2 x-− 1 + 2 sin x-cos2 x-− 3 sin x-= 3 ( 3 3 ) 3 3 x- 2 x 2 x- = sin 3 2 cos 3 − 1+ 2cos 3 − 3 = x-( 2 x ) x( x- ) ( x- ) = sin 3 4 cos 3 − 4 = 4 sin 3 cos 3 − 1 co s3 + 1 .](https://img.zadania.info/zad/8966547/HzadR10x.gif)
Ponieważ warunek jest równoważny temu, że
, mamy stąd
![x = 3kπ , k ∈ Z](https://img.zadania.info/zad/8966547/HzadR13x.gif)
Odpowiedź: ,