Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6067427

Wykres funkcji kwadratowej  2 f(x) = − 2x + 3x− 1 przesunięto o p jednostek wzdłuż osi Ox i o q jednostek wzdłuż osi Oy . Otrzymano w ten sposób wykres funkcji g(x) = − 2x 2 + 7x − 5 .

  • Wyznacz liczby p i q .
  • Rozwiąż równanie |g(x )f(x) − g(x)| = g(x ) .
Wersja PDF
Rozwiązanie
  •  

    Sposób I

    Ze wzoru na przesunięcie wykresu funkcji o wektor [p,q] mamy równanie

     2 2 − 2(x − p) + 3(x − p )− 1 + q = − 2x + 7x − 5 − 2x2 + 4xp − 2p2 + 3x − 3p − 1 + q = −2x 2 + 7x− 5 4x (p− 1)− 2p2 − 3p + q + 4 = 0.

    Równość ta ma być spełniona dla dowolnego x ∈ R , czyli oba współczynniki funkcji liniowej z lewej strony muszą być równe 0. Mamy zatem p = 1 oraz

    − 2− 3+ q+ 4 = 0 ⇒ q = 1.

    Sposób II

    Wykres funkcji f ma wierzchołek w punkcie

     ( ) ( ) (xw ,yw) = −b--, −-Δ = 3-, 1 . 2a 4a 4 8

    Natomiast wierzchołek funkcji g ma współrzędne

     ( 7 9) ( 3 1 ) (xw ,yw) = -,-- = --+ 1,--+ 1 . 4 8 4 8

    Zatem p = q = 1 .


    PIC

     
    Odpowiedź: p = q = 1

  • Liczymy
    |g (x)(f(x) − 1)| = g(x ) |g (x)||(f(x )− 1 )| = g(x).

    Zauważmy, że jeżeli g(x) < 0 to po skróceniu g (x) dostajemy równanie

    |f(x) − 1| = − 1,

    które na pewno jest sprzeczne. Zatem musi być g(x) ≥ 0 . Sprawdźmy kiedy tak jest.

     − 2x 2 + 7x − 5 ≥ 0 2 2x − 7x+ 5 ≤ 0 Δ = 49 − 40 = 9 x = 7-−-3-= 1, x = 7+-3-= 5- 1 ⟨ 4 ⟩ 2 4 2 5 x ∈ 1 ,2- .

    Na końcach przedziału mamy g(x) = 0 , więc są to na pewno rozwiązania równania. Załóżmy dalej, że g(x) > 0 , czyli x ∈ (1 , 5) 2 . Skracając równanie przez g(x ) mamy

    |f (x)− 1| = 1 f(x) − 1 = − 1 ∨ f(x) − 1 = 1 2 2 − 2x + 3x− 1 = 0 ∨ − 2x + 3x − 3 = 0 Δ = 9 − 8 = 1 Δ = 9− 24 < 0 − 3 − 1 − 3+ 1 1 x1 = ------- = 1, x 2 =------- = -. − 4 − 4 2

    Żadne z tych rozwiązań nie jest w przedziale (1, 52) , więc jedyne rozwiązania równania to miejsca zerowe g (x) .  
    Odpowiedź: x = 1 lub x = 5 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!